O milagre da liberdade remunerada

gugu_impaQuando Carlos Gustavo Tamm de Araújo Moreira (Gugu) terminou o ensino médio, terminou ao mesmo tempo o mestrado no Instituto de Matemática Pura e Aplicada do Rio de Janeiro (Impa). Aos 20 anos, já era doutor. Acha incrível que alguém seja pago para estudar matemática com liberdade.


Uma lenda quase verdadeira. Todo mundo no Impa gosta de contar essa história: Gugu foi candidato a vereador pelo PC do B, e ganhou 18 segundos no horário eleitoral gratuito. Dizem que gastava seus 18 segundos assim: “Companheiros! Eu sou o Gugu, candidato a vereador pelo partidão, número 21.602. Meu trabalho vocês conhecem: eu provei que intersecções estáveis de conjuntos de Cantor regulares são densas na região onde a soma das dimensões de Hausdorff é maior que 1! Urubu vota no Gugu!” Gugu conta a história e ri muito. “É mentira. É uma lenda, mas o povo adora contar essa lenda aqui. Se eu tivesse feito isso, acho que teria sido eleito.”

Mas a lenda ilustra algo verdadeiro: assim como tantos outros matemáticos, Gugu não consegue explicar direito o que faz, e por conta disso o povo do século 21 alimenta dois mitos sobre matemática.

Dois mitos comuns. É impossível explicar o que os matemáticos fazem durante as horas em que pesquisam? “Isso não é verdade”, diz Gugu. “O que falta é tempo. Se eu for para o quadro negro, acho que em meia hora consigo dar uma boa ideia do que fiz. Mas em poucos minutos não consigo.” Visto que matemáticos precisam de tempo e de um quadro negro para explicar o que fazem, a população em geral mantém uma ideia errada do que é matemática. “Existe esse sentimento de que a matemática foi feita há vários séculos, e que às vezes é útil. De novo, isso não é verdade. Criamos mais matemática no último século do que em toda a história da humanidade. Poucas pessoas sabem disso.”

Como as olimpíadas ajudam. Gugu trabalha na Olimpíada Brasileira de Matemática, e acha que os jovens que participam de olimpíadas entendem melhor o que significa ser matemático. A diferença entre as aulas regulares de matemática e a olimpíada é como a diferença entre exercício e problema. “No exercício, você não sabe a resposta, mas sabe que técnica deve usar para obter a resposta. No problema, você não sabe a resposta, e também não é óbvio quais técnicas deve usar.” Essa situação é parecida com a situação do matemático profissional, com uma diferença: o profissional não tem de resolver o problema em poucas horas, e aliás o profissional nem sabe se o problema pode ser resolvido.

Matemática pura ou aplicada? Gugu se especializou em sistemas dinâmicos (ou teoria do caos, no linguajar leigo), mas tenta resolver problemas de combinatória, de aproximações diofantinas, de teoria dos números. “Eu sou um pouco dispersivo. Às vezes, ataco até problemas muito maiores do que eu, como a hipótese de Riemann.” Gugu acha que, entre intelectuais e cientistas, a importância da matemática para a sociedade está bem estabelecida. “Para ter boa matemática aplicada, precisamos de boa matemática pura, e para ter boa matemática pura, precisamos de liberdade. Acho quase milagroso que eu seja pago para fazer matemática, logo eu, que fui estudar matemática por diversão.”

A contribuição dos economistas. Gugu não simpatiza com a ideia de pesquisar temas importantes de economia, em que poderia aplicar com vantagens a teoria sobre sistemas dinâmicos. “Os problemas que os matemáticos especializados em economia escolhem já contêm uma série de pressuposições que são, na verdade, escolhas políticas. Se o matemático decide estudar meios para otimizar a distribuição de mercadorias, por exemplo, ele não tomou uma decisão meramente técnica, mas política. A humanidade já produz alimentos em quantidade suficiente para alimentar todo mundo, e mesmo assim muita gente passa fome. O problema da fome é político, é anterior a todos os problemas técnicos.”

Duas batidas de carro. Existe algo no qual Gugu seja incompetente? “Ah, sim, muita coisa. Depois de bater o carro duas vezes, desisti de aprender a dirigir.” {FIM}


Observações:

1. Publiquei este breve perfil pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 9, outubro de 2011, pág. 31. A versão que acabou de ler foi revista e reescrita.

livro-teoria-dos-numeros2. Gugu e outros três colegas escreveram um livro agradável sobre teoria dos números: Teoria dos Números: Um Passeio com Primos e Outros Números Familiares Pelo Mundo Inteiro: Rio de Janeiro, Impa 2010. Não chega a ser um livro para leigos, mas está ao alcance do leitor determinado.

Três gatos, três ratos, e uma pergunta


{1}/ A pergunta

Problema. Se três gatos caçam três ratos em três minutos, quantos gatos caçariam 100 ratos em 100 minutos?

É um problema mais difícil do que parece à primeira vista; tente resolvê-lo, e depois veja a resposta na seção 2 logo abaixo.

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{2}/ A resolução

Muita gente conclui depressa: 1 gato caça 1 rato em 1 minuto. Daí, em 100 minutos, basta 1 gato para caçar os 100 ratos, visto que caçará 1 rato por minuto. Mas essa resposta está errada.

Outras pessoas pensam assim: “Não posso tirar a média de nada, pois tenho de me ater às informações do enunciado. Logo, divido 100 minutos por 3 minutos. Obtenho 33 intervalos de 3 minutos mais um intervalo de 1 minuto. Com os mesmos 3 gatos, a cada intervalo eles caçam 3 ratos; logo, em 33 intervalos eles caçam 99 ratos e, no minuto final, caçam o 100º rato. Preciso, portanto, de três gatos.” Essa resposta está errada também.

Martin Gardner, que incluiu este problema no ótimo livrinho Entertaining Mathematical Puzzles, comenta: “É possível que, quando os três gatos se juntam para caçar o último rato, possam cumprir a tarefa em menos de um minuto.” Depois desse trecho, dá um aviso importante ao leitor: “Contudo, não há nada no enunciado da charada que nos permita saber em quanto tempo três gatos caçam um único rato.” Aliás, pensando bem, não há nada no enunciado que permita ao estudante saber se os mesmos três gatos caçariam três ratos a cada três minutos; talvez caçassem 9 ratos em 9 minutos e daí se dirigissem ao lugar mais confortável do sofá para descansar por umas 6 horas. Gatos são assim: adoram um sofá. Melhor dizendo: adoram o melhor lugar do sofá.

Quase todo estudante de matemática acha esse problema difícil, porque, neste caso, parte dum pressuposto incorreto: o de que todo problema tem solução. O matemático profissional aborda um problema consciente de que vai chegar a um entre três resultados distintos:

[1] Ou vai escrever uma conjectura e provar que sua conjectura está correta, e daí poderá rebatizá-la de teorema. (Atenção: “provar que a conjectura está correta” talvez signifique “provar que a afirmação a ser provada é falsa”, se essa for a conjectura.)

[2] Ou vai escrever uma conjectura e provar que é impossível provar se a conjectura é correta ou incorreta. (Em vários campos da matemática, essa é uma possibilidade real.)

[3] Ou nem conseguirá escrever uma conjectura digna da palavra “conjectura”, pois não terá a capacidade de obter informações suficientes sobre o problema, e assim será obrigado a deixar o problema para a posteridade.

A bem da verdade, o matemático profissional leva anos para desenvolver tal consciência, o que explica por que é tão fácil encontrar estudantes de matemática crentes de que todo problema matemático tem solução. “Só existe uma resposta correta ao problema dos três gatos”, diz Martin: “A pergunta é ambígua e não pode ser respondida sem que haja mais informações sobre como tais gatos caçam ratos.” {FIM}


Observação: Publiquei esse problema pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 33, outubro de 2013, pág. 65. A versão que acabou de ler foi revista e reescrita.

A espantosa utilidade da matemática


Professores há tempos se habituaram ao caráter abstrato dos objetos matemáticos. Estão acostumados a achar natural que um desses objetos, criado para resolver o problema X, depois seja usado para resolver o problema Y. Às vezes, contudo, até eles se pegam dizendo: “Eu jamais poderia imaginar que tal abstração matemática servisse para um problema assim.”

Vocabulário: Neste texto, abstração matemática e objeto matemático são a mesma coisa. Pode ser uma reta no plano, pode ser um método da álgebra linear, pode ser um axioma — pode ser qualquer um dos elementos que compõem a matemática.



{1}/ Um jantar entre amigos

No livro A Matemática das Coisas, o matemático português Nuno Crato propõe ao leitor o problema a seguir:

Eu queria convidar três amigos para jantar comigo e comemorar meu aniversário; desse modo ocuparíamos uma mesa para quatro pessoas no restaurante de que mais gosto. Tenho cinco bons amigos, mas o Antônio está zangado com a Beatriz, sua antiga namorada. Esta e o Carlos são inseparáveis. O Carlos, que é amigo do Antônio, está de relações cortadas com o Daniel. Este, por seu turno, não dá um passo sem trazer consigo a Eduarda, que não pode nem ver o Antônio. Será que consigo convidar três dos meus cinco bons amigos para jantar comigo?

O estudante (vamos chamá-lo de Alx) pode resolver o problema por tentativa e erro, mas notará que, mesmo num problema tão simples, tentativa e erro dá bastante trabalho. Pode também recorrer a um grafo: a ideia de grafo foi usada pela primeira vez por Leonhard Euler (1707-1783), quando precisou resolver o problema das pontes de Königsberg; quanto à palavra grafo, surgiu em 1878, quando James Joseph Sylvester publicou um artigo sobre álgebra e diagramas na revista Nature. Para resolver o problema do jantar de aniversário, Alx examina a ideia de relação binária e, logo em seguida, a definição de grafo; daí parte para a resolução em si. (Sobre relações binárias, grafos, e a ponte de Königsberg, veja as seções 2, 3, e 4.)

Decide representar a relação binária “X não pode ver a cara de Y” por XY, e torna essa relação simétrica: se XY, então YX. Reconhece que tal simetria pode não existir na vida real — se Eduarda está zangada com Antônio, talvez Antônio ainda adore Eduarda. Contudo, do ponto de vista do aniversariante, visto que Eduarda não quer saber de Antônio nem que escove os dentes com chocolate, nenhum dos dois pode ser convidado para o mesmo jantar. Alx representa a relação “X não vai a lugar nenhum sem Y” por XY, isto é, “convidar X implica convidar Y”; porém, não torna a relação XY simétrica: X não vai a lugar nenhum sem Y, mas Y, quando toma uma iniciativa sozinho, não necessariamente convida X. Alx representa XY com uma linha azul, e XY com uma linha vermelha orientada, e assim esboça a figura 1, em que A representa Antônio, B, Beatriz, C, Carlos, D, Daniel e E, Eduarda.

figura-1

Figura 1

Alx percebe que deve estudar os pontos que não estão conectados por linhas azuis. Depois de uns minutos, monta uma lista desses pontos, já sem redundâncias:

A e C

A e D

B e C

B e D

B e E

C e E

A partir daí, monta uma tabela: na primeira coluna, cada um dos pares; na coluna do meio, um estudo do que aconteceria se o aniversariante convidasse as duas pessoas do par; na terceira coluna, marca com “OK” caso possa convidar as duas pessoas do par e com “NOK” caso não possa.

A e C C B, mas BA NOK
A e D D E, mas EA NOK
B e C B = C, pois B C e C B OK
B e D B C, mas CD NOK
B e E B = E; B C, mas C = E OK
C e E C = E; C B, mas B = E OK

 

Alx percebe que o aniversariante pode convidar, sem nenhum problema, os pares de vértices (B, C), (B, E) e (C, E). Isso significa que pode convidar Beatriz, Carlos e Eduarda para o jantar de aniversário. “Como é possível”, pensa Alx, “que eu possa ajudar alguém a escolher os amigos com os quais jantar usando uma abstração matemática criada, há 278 anos, para o problema das pontes de Königsberg?” Tem gente que acha esse tipo de pergunta tola, pois matemática é pura abstração, e é natural que seja usada para resolver todo tipo de problema real cuja representação abstrata guarde semelhanças com outros problemas reais. (Neste caso, essa gente toma “abstrair” por “desconsiderar os aspectos irrelevantes do problema e se concentrar apenas nos relevantes”.) Ora, não é verdade que 5 + 2 pode ser “cinco reais mais dois reais” e pode ser “cinco figurinhas mais duas figurinhas” e pode ser “cinco goles mais dois outros goles”? E ninguém se espanta ao notar que 5 + 2 serve para representar tantos problemas distintos.

Contudo, até mesmo matemáticos profissionais se surpreendem com essa característica da matemática. De vez em quando, recorrem a um objeto matemático qualquer para resolver um problema e se pegam dizendo aos amigos: “Puxa vida, eu nunca tinha pensado que esse objeto da matemática pudesse servir para resolver um problema como este que resolvi.” Um desses matemáticos é Pedro Lauridsen Ribeiro, especialista em física-matemática, pesquisador no departamento de matemática aplicada do Instituto de Matemática e Estatística da USP, e professor no centro de matemática, computação e cognição da Universidade Federal do ABC. Quando participava do concurso da UFABC, foi avisado de que teria de dar uma espécie de aula sobre regressão linear para a comissão julgadora dos candidatos; o assunto da aula foi escolhido por sorteio, como é comum em concursos assim. “Esse era um assunto que eu temia”, diz Pedro, “pois não tinha contato com ele há pelo menos uns dez anos!” Para se preparar, vasculhou livros. Achou um de análise numérica em que esse assunto, regressão linear, era reinterpretado e apresentado como um problema de álgebra linear. “Descobri que poderia ver a regressão linear como o cálculo da pseudoinversa de uma matriz.” Na condição de especialista em física-matemática, Pedro conhece álgebra linear, isto é, sabe realizar muitos tipos de operações com matrizes. “Essa reinterpretação do tema não só me surpreendeu, como me salvou na prova, porque pude apresentar o assunto de um ponto de vista que me era mais familiar.”

O que é distância? O matemático inglês Timothy Gowers costuma dizer que, quando um matemático usa uma abstração num contexto inesperado, e se surpreende com isso, tanto o matemático quanto a matemática melhoram. Se pega um objeto que costumava usar num contexto e o usa num contexto diferente (como Pedro fez quando examinou a ideia de regressão linear no contexto da álgebra de matrizes), é porque foi capaz de produzir uma afirmação matemática mais genérica. Com ela, resume o que tem observado em instâncias particulares; por isso, ela lhe permite pôr dois objetos matemáticos distintos num mesmo conjunto de objetos. “Um dos benefícios disso”, diz Gowers, “é que podemos ver conexões entre objetos que a princípio nos pareciam diferentes. Achar conexões surpreendentes entre áreas distintas da matemática quase sempre nos leva a avanços importantes.”

A ideia de que surpresa leva a avanço vale para matemáticos profissionais e para estudantes; para testá-la, o estudante Alx examina um trecho de livro didático sobre espaços métricos.

Existem muitas situações nas quais o matemático precisa trabalhar com um conjunto de pontos e saber se estão próximos um do outro. “Isso me parece fácil na dimensão 1”, diz Alx. “A dimensão 1 é simplesmente a reta real, e posso representar cada ponto de dimensão 1 com um único número; por exemplo, (−2) ou (π). Posso dizer que a distância entre eles é |−2| + |π|, isto é, 2 + π.” Para entender esse ponto, Alx esboça a figura 2.

Figura 2

Figura 2

Olhando o texto, descobre que pode representar essa distância assim:

Alx parte então para a dimensão 2. Como descobrir se os pontos de dimensão 2 estão próximos um do outro? Sabe que, para visualizar um espaço de dimensão 2 com simplicidade, deve recorrer a um plano cartesiano, no qual pode identificar cada ponto com dois números; por exemplo, (x, y), (1, 3), (3, 1). “Li uma vez que posso usar o teorema de Pitágoras para determinar a distância entre esses dois pontos.” Esboça a figura 3, e junto dela põe as contas já passadas a limpo.

Figura 3

Figura 3

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E assim vai. Ao examinar o texto, Alx lê e relê a definição de distância entre pontos num espaço de dimensão n, isto é, de dimensão arbitrária, na qual localiza cada ponto por meio de n números reais. Pensa no ponto P1 = (x1, x2, x3, …, xn) e no ponto P2 = (y1, y2, y3, …, yn). A distância entre eles fica sendo:

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Nem se arrisca a fazer um desenho disso, mas desconfia da definição. Como alguém pode saber que essa ideia de distância faz sentido num espaço de dimensão 26, se ninguém jamais viveu num espaço assim? Lendo melhor o trecho do livro, vê que os próprios matemáticos fizeram essa pergunta uns aos outros, até que chegaram à definição de métrica, isto é, à definição de como deve funcionar a fórmula (ou as fórmulas) com a qual o matemático obtém a distância em função dos pontos:

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Com as fórmulas (I), os matemáticos disseram três coisas: Qualquer que seja o tipo de espaço em que os pontos estão, para que haja a ideia usual de distância, então a distância entre dois pontos tem de ser maior ou igual a zero, isto é, jamais pode ser negativa. Além disso, devemos estimar tal distância com uma fórmula d bem precisa. Por fim, se a distância entre dois pontos é zero, então os dois pontos devem ser o mesmo ponto. Com a linha (II), disseram: a distância entre o ponto P1 e o ponto P2 tem de ser a mesma que entre o ponto P2 e o ponto P1; em outras palavras, distância é uma relação binária simétrica. E, com a linha (III), disseram: para quaisquer três pontos distintos P1, P2, e P3, vale a desigualdade triangular. Podemos encarar cada um desses três pontos como o vértice de um triângulo; então o comprimento de um dos lados jamais excede a soma do comprimento dos outros dois. Em outras palavras, para que haja a ideia usual de distância, o espaço, qualquer que seja, deve permitir que achemos o caminho mais curto entre dois pontos.

Alx fica surpreso com o que os matemáticos fizeram ao criar essas três linhas. “Eles não falaram nada do tipo de espaço em que esses pontos estão. Pode ser reto, pode ser curvo. Pode ser o plano cartesiano, pode ser a superfície de uma esfera, pode ser a superfície de uma fita de Möbius! Se a definição de métrica vale nesse espaço, então posso falar de distância de um jeito abstrato, mas ainda assim próximo do jeito que estou acostumado a falar dela.”

O trecho continua: se o estudante define uma fórmula para a função d, e se tem um conjunto X de pontos, e se as afirmações (I) a (III) valem quando aplica d aos elementos de X, então definiu um espaço métrico. Embora quase todo estudante associe a ideia de distância com o teorema de Pitágoras, há vários exemplos de espaço métrico nos quais a métrica (isto é, a função d mais o conjunto X) não é consequência do teorema de Pitágoras. Alx pensa num deles: “Se viajo de avião de São Paulo para Recife, não me interessa somar o comprimento de todas as estradas que me levam de uma à outra, e sim o caminho mais curto entre as duas cidades na superfície do planeta, que posso imaginar como sendo uma esfera.” Mais uma vez Alx nota que, se pode definir a rota mais curta numa superfície qualquer, e se essa definição preserva as afirmações (I) a (III), então essa superfície nem precisa ser plana. (No caso de superfícies curvadas, a rota mais curta entre dois pontos tem nome: geodésica. Contudo, alguns matemáticos usam a palavra para indicar a rota mais curta entre dois pontos não importa qual seja a curvatura da superfície; nesse sentido, o matemático pode chamar um segmento de reta num plano de geodésica.)

Pedro Lauridsen diz que todo matemático faz isso: pega dois objetos da matemática (como um plano e uma esfera), vê como ignorar alguns detalhes em ambos os objetos de modo a escrever alguma definição que sirva para os dois (como a definição de distância contida nas afirmações (I) a (III)), e daí abstrai ainda mais: estuda essa definição como se ela fosse um objeto em si, sem nenhuma conexão com os dois objetos dos quais surgiu. Foi isso o que os matemáticos fizeram com os espaços métricos e com os grafos. (Hoje eles usam espaços métricos para estudar as rotações de poliedros em dimensões arbitrárias.) Contudo, para quem vai aplicar a matemática a problemas reais, Pedro aconselha: cuidado para não resolver o problema errado! “Corremos o risco de abstrair demais”, diz Pedro. “Abstraímos certos aspectos do problema, para deixá-lo mais fácil de resolver, só que, muitas vezes, nesse processo de abstração não captamos exatamente o problema original, mas um problema parecido, com certas características comuns com o original. Com as abstrações, abrimos os nossos olhos, mas, especialmente no caso da matemática aplicada, corremos o risco de resolver uma versão desfigurada do problema que nos interessava.” {❏}

Ilustrações correlatas:

Um triângulo esférico

Um triângulo esférico (Wikipedia)

 

O que a imagem acima mostra: Numa esfera, a menor distância entre dois pontos é um círculo máximo: é um círculo na superfície da esfera cujo centro coincide com o centro da esfera. A figura mostra três pontos unidos por círculos máximos, ou seja, mostra um triângulo sobre a esfera

Lembrete: Tecnicamente, a palavra esfera designa apenas os pontos na superfície da bola. Dizer “superfície da esfera” é mais ou menos como dizer “superfície da superfície”. Contudo, até matemáticos usam “superfície da esfera”, talvez porque o leigo mistura bola com esfera.


 

De São Paulo a Recife

 

Distância geodésica 2.118 quilômetros
Tempo de viagem na velocidade do som… 1 hora e 45 minutos
… e na velocidade da luz dentro de uma fibra ótica 7 milissegundos


{2}/ Relação binária

O estudante usa o símbolo ~ para representar uma relação qualquer entre os elementos a e b, isto é, uma relação binária. Assim, quando escreve a ~ b, quer dizer “a está relacionado de alguma forma com b”. Uns poucos exemplos: a < b é uma relação binária comum no conjunto dos números naturais; “r é perpendicular a s” é uma relação binária comum no conjunto das retas no plano cartesiano. Mas o estudante pode usar o símbolo ≠ para representar “não pode ver a cara de” e escrever a relação binária AB quando quer dizer “Antônio não pode ver a cara de Beatriz”. Alguns matemáticos preferem denotar uma relação binária com uma letra maiúscula bem escolhida; por exemplo, para representar “não pode ver a cara de”, o estudante usa a letra N, e daí AB vira A N B. Sempre que o estudante escolhe um símbolo para ~, pode usar um símbolo do tipo ≁ para representar o caso em que não pode declarar válida a relação ~; assim, se usou AB para denotar “Antônio não gosta de Beatriz”, pode escrever A = B para denotar “Antônio gosta de Beatriz”. Uma relação binária ~ talvez seja simétrica, ou talvez não: às vezes, se a ~ b, então b ~ a; às vezes, contudo, a ~ b, mas não necessariamente b ~ a. {❏}



{3}/ O que é um grafo

De modo bem simples, um grafo é um conjunto de pontos, alguns dos quais conectados entre si por meio de linhas. O estudante pode chamar os pontos de vértices ou de nós; e pode chamar as linhas de arestas. Dois pontos unidos por uma linha estão adjacentes. Um analista costuma usar grafos para representar relações binárias: se dois pontos estão interligados por uma linha, então vale entre eles a relação binária ~ (que é o símbolo de uma relação binária genérica). Por exemplo, une os pontos com uma linha azul, sem nenhuma seta, para representar a relação binária simétrica “A não pode ver a cara de B, e B não pode ver a cara de A”. Mas pode também unir dois pontos com uma linha orientada, isto é, com o sentido indicado por uma seta. Se une o ponto C com o ponto D com uma seta para indicar CD, talvez queira dizer “C convida D para tudo o que faz, mas não necessariamente D convida C para tudo o que faz”. Quando usa um grafo, o analista quer entender quais pares de pontos fazem parte de certo conjunto de pontos adjacentes, e quais pares não fazem parte desse conjunto. Se um par de pontos faz parte do conjunto, significa que os pontos têm entre eles certa relação binária; se um par não faz parte do conjunto, os pontos não têm entre eles a relação binária. {❏}


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{4} As pontes de Königsberg

No começo do século 18, havia sete pontes na cidade de Königsberg (hoje, Kaliningrado). Elas cruzavam braços distintos do rio Pregolya, como mostra a figura acima. Alguém perguntou: será possível, a partir de algum ponto inicial em terra firme, cruzar cada uma das pontes uma única vez e voltar ao ponto inicial? Euler se interessou pelo problema, e representou cada massa de terra com um vértice, e cada ponte interligando tal massa de terra às outras massas com uma linha. Na linguagem atual, a pergunta ficaria assim: o grafo que representa o problema de Königsberg é um circuito euleriano? Em outras palavras: o analista pode começar num dos vértices, viajar pelo grafo percorrendo cada aresta uma única vez, e voltar ao vértice original? Euler demonstrou que um grafo só pode ser um circuito euleriano se e somente se cada vértice é de grau par (é tocado por um número par de arestas). No caso do grafo de Königsberg, todos os vértices são de grau ímpar: o problema é insolúvel. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 26, março de 2013, pág. 30. A versão que acabou de ler foi revista e reescrita.

2. A entrevista foi feita pelo jornalista Renato Mendes.

Equações deixam prédios transparentes

Para Alexander J. Hahn, professor de matemática na Universidade de Notre Dame (Estados Unidos), a matemática permite ao homem ver aquilo que, de outra forma, jamais poderia ver. Ao usar ferramentas matemáticas para estudar prédios antigos e novos, Alex percebeu que, quando os matemáticos criam conceitos novos, arquitetos talentosos transformam tais conceitos em construções mais ousadas.

Na foto acima: A Cidade das Artes e das Ciências, uma espécie de centro cultural localizado na cidade de Valência (Espanha), é exemplo do que um arquiteto (Santiago Calatrava) é capaz de fazer quando gosta de matemática.


O aqueduto de Segóvia, na Espanha

Num aqueduto romano, o intervalo entre os arcos é uma espécie de resposta a vetores que representam forças horizontais. Então, a matemática me dá ideias que uma descrição verbal da construção ou que um desenho não me daria.


Alexander Hahn

Alexander Hahn


{1}/ Introdução: Um algebrista estuda arquitetura

Em 2012, Alexander J. Hahn lançou um livro sobre matemática e arquitetura (Mathematical Excursion to the World’s Greatest Buildings, isto é, Excursões Matemáticas aos Grandes Prédios do Mundo), mas não deixa que ninguém tente classificá-lo como “um matemático que gosta de arquitetura”: ele até aceita o rótulo, no fim das contas, mas antes disso protesta. “Nos últimos poucos anos”, diz Alex, “tenho tido grande satisfação quando consigo interligar tópicos da matemática elementar a outras disciplinas. Um livro sobre as interconexões entre a matemática elementar e a arquitetura foi apenas minha realização mais recente. No fundo, contudo, ainda sou um algebrista.”

Quando Alex usa as palavras “matemática elementar”, não se refere apenas à matemática que todos estudam no ensino básico, mas inclui também cálculo diferencial e integral e álgebra linear, isto é, inclui tudo aquilo que um engenheiro estuda nos dois primeiros anos de faculdade. E ele não tem buscado enxergar as interligações entre matemática elementar e outras coisas apenas por curiosidade, mas porque tem dado aulas para turmas de arquitetos e de engenheiros na Universidade de Notre Dame, localizada no estado de Indiana, nos Estados Unidos. “Quando você tem de dar aulas sobre um assunto”, diz Alex, “ganha tempo de pensar a respeito dele. Além disso, tenho grandes amigos na universidade que são arquitetos. Gosto muito de ouvi-los conversar entre si sobre arquitetura.”


{2}/ A entrevista em si

Como você veio a gostar de matemática?

Nasci em Innsbruck, uma bela cidade, que hoje faz parte da Áustria. Quando eu tinha 13 anos de idade, meus pais se mudaram para os Estados Unidos. Eu não conseguia entender nem uma palavra de inglês. Entrei numa escola americana e literalmente não entendia nada. Mas, quando o professor de matemática entrou na sala e escreveu na lousa a equação a2 + b2 = c2, eu pensei: “Ahhh, isso eu sei o que é.” Eu finalmente entendi alguma coisa.

A mesma história se repetiu mais ou menos assim na faculdade. Entre enfrentar um curso de psicologia, cujo livro tem 500 páginas e cujo professor me obrigaria a ler 50 páginas difíceis antes de cada aula, e um curso de matemática, cujo livro tem 300 páginas e para mim faz mais sentido, ficou claro para mim que matemática era a melhor escolha. Eu gostava de estudar matemática, e sentia que tinha algum talento para a coisa. Deu certo, porque já dou aulas de matemática há uns 40 anos.

Todo prédio bonito tem alguma característica matemática comum?

A única coisa que podemos dizer com certeza a respeito de dois prédios distintos é que eles misturam vários tipos de formas geométricas. Acho difícil dizer mais do que isso. Veja os templos gregos ou as pirâmides egípcias: são basicamente feitos de linhas retas, mas são bonitos e interessantes. Quanto a mim, prefiro prédios cheios de curvas; acho as curvas mais atraentes. Penso aqui no arquiteto brasileiro Oscar Niemeyer, ou no arquiteto espanhol Santiago Calatrava. Gosto de pensar nas curvas hiperbólicas da catedral de Brasília, ou de pensar na Cidade das Artes e das Ciências de Valência. Quanto a Calatrava, ele tem ótimos conhecimentos de matemática. Quando pega um papel em branco e faz um esboço, sabe mais ou menos que curva matemática está esboçando, e sabe dizer se aquele esboço é passível de ser construído ou não. Calatrava não precisa recorrer a um engenheiro calculista para saber se suas ideias são factíveis, e isso faz dele um caso interessante.

Acha difícil enxergar inter-relações entre arquitetura e matemática?

Algumas coisas são óbvias. Para quem tem prática, é fácil sugerir o círculo de curvatura de um arco. Mas, para mim, o principal desafio é captar os aspectos quantitativos que revelam a estrutura de uma construção, e essa revelação deve me surpreender. Por exemplo: pense nos arcos romanos, como aqueles que vemos em aquedutos. Quais forças laterais são geradas nessa estrutura semicircular? Para obter a resposta, precisamos de trigonometria e das propriedades básicas dos vetores. Pego as forças envolvidas e as decomponho em componentes vetoriais verticais e horizontais. Os vetores verticais têm a ver com a força da gravidade e com a massa, e nos dizem quais forças a estrutura pode aguentar. Os vetores horizontais têm a ver com as forças restantes. Num aqueduto romano, o intervalo entre os arcos é uma espécie de resposta a esses vetores horizontais. Então, a matemática me dá ideias que uma descrição verbal da construção ou que um desenho não me daria. Os antigos romanos não sabiam de nada dessas coisas todas, como é óbvio: seus conhecimentos foram obtidos por tentativa e erro. Para eles, seria impossível construir algo como a ópera de Sydney [na Austrália].

Então o conhecimento explícito de matemática influenciou a arquitetura?

sydney-operaSim: é impossível construir essas formas gigantescas sem ter um modelo matemático prévio. Só com o modelo a equipe [arquiteto e engenheiros] poderá identificar os pontos de tensão e de compressão, onde as forças laterais agem, e quais são as forças de rotação envolvidas. A ópera de Sydney mistura elementos de geometria hiperbólica, de geometria elíptica e de uma incrível geometria esférica.

Ao longo dos estudos para completar o livro, compreendi que os conhecimentos explícitos de matemática influenciaram o modo como o homem desenhou e construiu seus prédios, e além disso os grandes projetos arquitetônicos forneceram recursos financeiros e técnicos importantes para a aplicação da matemática. Ao analisar os aspectos matemáticos dos prédios ao longo da história, e também a história da matemática, achei incrível notar como ideias matemáticas novas eram logo adotadas por arquitetos. Um registro histórico da arquitetura nos dá, grosso modo, um registro histórico das ideias matemáticas, pois é impossível construir prédios como a ópera de Sydney usando o método da tentativa e erro.

Existe algum prédio que não achava interessante, mas que agora acha?

capela-le-corbusierO arquiteto Le Corbusier construiu uma capela de concreto na cidade francesa de Besançon [capela Notre Dame du Haut]. No começo da minha pesquisa, não via nada demais naquela construção. Depois de examinar sua estrutura matemática, contudo, passeia achar essa catedral muito interessante. Acabei não incluindo a capela de Besançon no livro, mas agora gosto muito dela.

Qual será seu próximo livro?

Acho que todo professor tem de perseguir o objetivo de promover a matemática entre as pessoas das gerações mais jovens. Por isso quero escrever um livro de cálculo [diferencial e integral] aplicado aos voos espaciais. Gostaria de dar resposta a perguntas como: que tipo de coisa os engenheiros e físicos têm de levar em conta para mandar uma nave espacial fotografar Saturno? {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa entrevista na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 26, março de 2013, pág. 22. A versão que acabou de ler foi revista e reescrita.

2. A entrevista foi realizada pelo jornalista Felipe Dreher.

3. Como prometeu no último parágrafo da entrevista, em poucos meses Hahn publica dois novos livros: Calculus in Context: Background, Basics, and Applications; e Calculus of Planetary Orbits and Interplanetary Flight. Ambos estão em fase final de preparação: o primeiro pela Johns Hopkins University Press e o segundo pela Springer-Verlag.