Todo erro é uma descoberta


Em países como o Brasil, se uma pessoa comete um erro de matemática, coitada: ela precisa de conserto. No Japão, quem erra faz uma descoberta, a ser explorada com satisfação. É por isso que professores japoneses obtêm resultados excelentes até mesmo de alunos medíocres.


{1}/ O método da borboleta

Quanto é 1/3 multiplicado por 1/5? Nos Estados Unidos, certa vez um aluno calculou a resposta como sendo 1. O que o professor deve dizer a um aluno desses? Que ele errou ou que fez uma descoberta? Em países como Estados Unidos e Brasil, é bem provável que o professor diga ao aluno que errou; logo em seguida, que mostre ao aluno, e talvez à classe inteira, o jeito certo de calcular o resultado dessa multiplicação de frações.

Um professor japonês não recorreria ao método “Você errou. Eis aqui como deve proceder para acertar da próxima vez.” Em vez disso, conversaria com o aluno e em seguida diria à classe algo do tipo:

“O Fulano aqui descobriu que determinada abordagem ao problema não funciona. Fulano, por favor, explique sua descoberta à classe.”

Suponha agora que o professor americano siga o método japonês; ele daria ao Fulano a oportunidade de explicar o que aconteceu:

“Eu usei o método da borboleta para multiplicar as duas frações. Esse método funciona na adição e na subtração de frações. Por isso supus que funcionaria na multiplicação de frações também.”

O método da borboleta é um método do tipo decoreba; é péssimo, mas comum nos Estados Unidos, a ponto de figurar em apostilas de matemática e fazer sucesso no YouTube. Para somar 1/3 com 1/5, primeiro o aluno coloca as duas frações lado a lado:

equation-1

Feito isso, desenha a borboleta:

descobertas_1

O aluno usa o sinal de mais, na cabeça da borboleta, como lembrete de que, em algum momento, terá de somar números na parte de cima da borboleta; e usa o sinal de vezes, no rabo da borboleta, como lembrete de que terá de multiplicar os denominadores na parte de baixo. E daí o aluno multiplica em cruz: o numerador da primeira fração pelo denominador da segunda, o denominador da primeira pelo numerador da segunda. Com isso, preenche a borboleta:

descobertas_2

Nesse caso, o aluno multiplicou 1 por 5 e anotou o resultado no topo da asa esquerda; multiplicou 1 por 3 e anotou o resultado no topo da asa direita; somou os dois produtos na parte de cima e anotou o resultado na cabeça da borboleta; multiplicou os denominadores e anotou o resultado no abdômen da borboleta. Daí escreveu o resultado:

equation-2

E se o aluno quer tirar 1/5 de 1/3? Pode usar o mesmo método. Começa escrevendo a expressão cujo valor pretende calcular:

equation-3

Depois, desenha a borboleta e a preenche com os números:

descobertas_3

Com isso, pode arrematar o resultado:

equation-4

Estudiosos dizem que esse método é péssimo justamente porque é um decoreba estupendo. O aluno nunca mais se esquece de como somar e subtrair frações; contudo, não consegue ver o que está acontecendo nos bastidores. O método da borboleta, como todo bom decoreba, não dá margem para a argumentação. Em consequência, com ele talvez o aluno se confunda, e ache que pode realizar a multiplicação de frações assim:

descobertas_4

Daí a deduzir que multiplicar 1/3 por 1/5 resulta em 15/15 = 1 é um pulinho.

Nos Estados Unidos, há alguns anos um pesquisador de nome Phil Daro ficou intrigado com um mistério: por que professores japoneses obtinham resultados excelentes ao ensinar matemática inclusive para alunos medíocres, enquanto os professores americanos obtinham resultados medíocres ao ensinar matemática inclusive para alunos brilhantes? Phil gravou em vídeo centenas de aulas nos Estados Unidos e no Japão. “Eu assisti àqueles vídeos dezenas de vezes ao longo de anos”, diz Phil Daro. “Não conseguia ver nada de especial no professor japonês: era um professor como qualquer professor nos Estados Unidos.” Um dia, olhando um dos vídeos, teve um estalo: o professor americano e o japonês encaram o erro de forma completamente distinta. “Levei anos para ver o óbvio, que estava na minha cara o tempo todo.”

Nos Estados Unidos, quando um Fulano erra, a primeira reação do professor, dos outros alunos, e do próprio Fulano é dizer: “Há algo de errado com o Fulano. Vamos descobrir o que é. Vamos consertá-lo.” Phil diz que essa nunca é a primeira reação numa sala de aula japonesa. Ao contrário, é: “Ao tentar resolver este problema que estamos tentando resolver, o Fulano adotou uma abordagem que não funciona. Visto que ele é uma pessoa como outra qualquer, talvez alguém da classe venha a escolher essa abordagem no futuro. Portanto, é muito importante que descubramos juntos por que a abordagem lhe pareceu boa, e descobrir também por que jamais poderia funcionar.”

Em outras palavras, nos Estados Unidos, um erro é uma vergonha a ser mitigada; no Japão, é uma descoberta a ser explorada.

Feita a constatação, Phil quis saber por que os dois países tratam erros de modo tão distinto. Haveria nos dois países um traço cultural a explicar a diferença de tratamento? Depois de pensar bastante no assunto, Phil tem uma conjectura: nos Estados Unidos, o objetivo de professores e alunos é obter a resposta certa, e depressa. No Japão, o objetivo é completamente outro: aprender a raciocinar corretamente a respeito de entidades de cunho matemático. Diz Phil: “O objetivo do professor americano é: ‘Como eu ensino meus alunos a obter rapidamente a resposta certa de problemas desse tipo?’ O objetivo do professor japonês é: ‘Que matemática os alunos devem aprender com problemas desse tipo? E como vou usar os problemas para fazê-los compreender essa matemática?’”

Problema de software. Todo professor experiente pode contar histórias como a da multiplicação pelo método da borboleta. (Veja a seção 2 para outras histórias assim.) E todos os que já pensaram mais profundamente sobre a questão do erro em aulas de matemática dizem mais ou menos a mesma coisa: que erros e acertos são irmãos. Ambos têm o mesmo pai e a mesma mãe, que são o raciocínio lógico e o pensamento estruturado. Às vezes, como no exemplo da borboleta, o raciocínio que produz a resposta errada é idêntico ao que produz a resposta certa; o aluno não percebe que o problema novo inclui certas pressuposições novas e exclui certas pressuposições antigas, e que isso invalida o raciocínio com o qual estava acostumado a trabalhar. Às vezes, o raciocínio que produz a resposta errada é apenas ligeiramente diferente do que produz a certa, e a diferença entre os dois é tão sutil que até o professor passa apuros para achar a sutileza. (Um programador diria: “Achar o bug no software.”) É por isso que, durante as aulas de matemática, a classe não pode focar em acertos e erros, mas em argumentos.

[Mini ensaio filosófico. Uma pessoa pode chamar o método da borboleta de “raciocínio”? A rigor, não. É um algoritmo; como todo algoritmo, o estudante pode executá-lo sem pensar. (Um bom algoritmo é justamente aquele que dispensa o raciocínio.) Mas se um professor ensinou o método em sala de aula, ou mesmo se recomendou um vídeo sobre o método, então, do ponto de vista do estudante, é um raciocínio tão válido quanto qualquer outro, pois tem o aval do professor.]

Antônio José Lopes (conhecido como Bigode), autor de livros didáticos e consultor do MEC, sabe dizer por que “fazer matemática” se transformou em “achar a resposta certa”: é por causa de testes, concursos, vestibulares. “A nossa cultura de cursinho sempre privilegiou o acerto”, diz Bigode. “Isso porque é possível quantificar facilmente a quantidade de acertos versus a quantidade de erros. Se você faz um teste de múltipla escolha com 20 questões, e acerta 17 delas, é muito simples: você acertou 85% das questões. Tal fato passa ao aluno a falsa impressão de que sabe a matéria.”

Por que Bigode usou a locução “falsa impressão”? Quem acerta 17 questões entre 20 não sabe a matéria?

Nem sempre, como o exemplo da borboleta demonstra: o estudante soma e subtrai frações, e acha a resposta certa, mas, como está recorrendo a uma receita de bolo, sabe tão pouco que nem consegue ver por que jamais deveria usar a borboleta para multiplicar ou dividir frações. “Muitas vezes”, diz Bigode, “o erro surge dessa cultura do macete, da prescrição.” Com tal cultura na cabeça, professores e alunos no fim das contas dão ênfase excessiva a acertos e erros, que são o fim de um processo, em vez de dar ênfase ao processo em si.

Meu amigo Pólya. Quando Bigode quer explicar o que significa “dar ênfase ao processo”, ou o que significam expressões equivalentes, do tipo “ensinar matemática de verdade”, “ensinar o pensamento matemático”, ele menciona o nome de um matemático húngaro: George Pólya, autor do famoso livro A Arte de Resolver Problemas. “O que ele fez?”, diz Bigode. “Estudou como seus melhores alunos, que eram mestrandos e doutorandos, resolviam problemas matemáticos. Ele viu que havia um padrão.” Pólya identificou quatro passos na arte de resolver problemas:

1. Primeiro, o matemático tem de entender qual é o problema.

2. Entendido o problema, deve criar um plano de resolução, ou, como os matemáticos gostam de dizer, uma estratégia de ataque.

3. Deve executar o plano.

4. Uma vez que o problema esteja resolvido, deve voltar atrás e revisar cada detalhe. Talvez ache um erro. Talvez tenha uma ideia que leve a uma resolução melhor.

O estudante deve notar que esse não é uma receita a ser seguida passo a passo rigorosamente, pois, no passo 3, pode perceber que uma parte do plano não está funcionando, e daí tem de voltar ao passo 1 para ver se realmente entendeu o problema. Até passar a resolução a limpo, talvez execute os passos num vaivém assim: 1, 2, 3, 2, 3, 4, 1, 4, 1, 2, 3, 4. (Para uma descrição mais detalhada de tais passos, veja a seção 3.)

Muita gente acha que só grandes matemáticos se preocupam com as instruções de Pólya, isto é, acha que elas servem somente para resolver problemas matemáticos difíceis e profundos. Não é verdade, como explica a professora Edda Curi, coordenadora do programa de mestrado no ensino de ciências e de matemática da Universidade Cruzeiro do Sul (Unicsul): “Se o professor, diante de crianças que mal sabem ler, lê em voz alta um problema de matemática adequado para a idade delas, elas conseguem resolver. Elas não precisam estar completamente alfabetizadas para resolver problemas. Aliás, elas nem precisam ter aprendido as operações matemáticas básicas, pois conseguem inventar sua própria notação e seus próprios procedimentos.”

O bom de estudar a arte de resolver problemas é que o aluno deixa de encarar a matemática como “a arte de dizer qual é a resposta certa rapidinho” para encará-la como “a arte de demonstrar por que motivos a resposta certa é a resposta certa”. Se o professor pedisse a um estudante bem treinado que somasse 1/3 com 1/5, o que tal estudante entregaria ao professor? Um documento, passado a limpo, contendo algo mais ou menos assim:


Teorema. Digo que a equação a seguir é verdadeira:

equation-6

Demonstração. Multiplique a primeira parcela por 5/5. Isso equivale a multiplicá-la por 1 e não altera seu valor:

equation-7

Multiplique agora a segunda parcela por 3/3. De novo, isso equivale a multiplicá-la por 1 e não altera seu valor:

equation-8

Visto que os denominadores estão iguais, conclua a operação ao somar os dois numeradores. Note ainda que 8 e 15 são primos entre si, de modo que ninguém pode simplificar a fração resultante mais que isto:

equation-9


Em outras palavras, o estudante não escreveu “a resposta certa é 8/15”, mas “a resposta certa, não há dúvida quanto a isso, tem de ser 8/15”. (É claro que ele já sabe somar frações com denominadores iguais, etc.) Além disso, com um método forte desses, pode usá-lo para realizar operações algébricas mais complicadas. (Veja a seção 4.)

Errou? Pare tudo! André Luís Trevisan dá aulas de cálculo, álgebra linear, e geometria analítica na Universidade Tecnológica Federal do Paraná; além disso, é doutorando na Universidade Estadual de Londrina. Evita dar aulas de cálculo do tipo “ache a resposta certa depressa aplicando a regra da cadeia”, e se esforça para dar aulas do tipo “pratique a arte de resolver problemas”, mas avisa aos interessados em dar aulas assim: é difícil. Por exemplo, quando André pega uma prova, e percebe que certo aluno não entendeu bem certo conceito, pede ao aluno um ensaio sobre o conceito. Quando alguém diz: “A resposta certa é X”, e X é de fato a resposta certa, André não responde com: “Está certo”, mas com: “Como você pensou para chegar nisso?” E quando alguém diz: “A resposta certa é X”, mas X é a resposta errada, mais uma vez André responde com: “Como você pensou para chegar nisso?” Todo mundo acha essa abordagem estranha: os outros professores, os alunos, os pais dos alunos. Às vezes, um aluno lhe diz para dar aulas da mesma forma que dão aulas todos os demais professores, em todas as demais faculdades. “Se você foge do padrão”, diz André, “cedo ou tarde alguém te diz que não está agindo do jeito certo.”

Para tornar sua situação ainda mais difícil, André não ensina cálculo na ordem em que todas as outras faculdades ensinam. Ele recorre a uma ordem mais ou menos histórica: por exemplo, começa com problemas de áreas e volumes, que levam naturalmente ao cálculo integral; só depois disso passa para o cálculo diferencial. Durante o doutorado, conheceu um autor holandês chamado Hans Freudenthal, para quem a missão do professor é ajudar o aluno a reinventar a matemática por si só. “Você não pode presumir que o aluno conseguirá reconstruir uma matemática que centenas de matemáticos talentosos construíram ao longo de milênios”, diz André; “apesar disso, se o professor apresenta ao aluno problemas bem planejados, daí o aluno consegue recriar sozinho os conceitos mais importantes, e mais ou menos como foram construídos ao longo da história.” Um curso desses só funciona se professor e aluno resolvem problemas à moda de Pólya; ele jamais funcionaria se ambos ficassem obcecados com a resposta certa (errada) dos exercícios ímpares no fim do livro didático.

Mas essa luta vale a pena, diz André. Muitos alunos, conforme ficam mais velhos e avançam no curso, percebem que aprenderam bem a matéria do primeiro ano. “Eles param de adotar uma atitude muito comum no Brasil, que é a atitude de quem, se errou alguma coisa, para tudo e espera o professor escrever a resposta certa na lousa, para então simplesmente copiar a resposta certa.” Recentemente, André e equipe conseguiram verba do CNPq para estudar esse método mais sistematicamente, o que devem fazer de dezembro de 2014 a dezembro de 2017.

Pólya sempre funciona? Se o professor insiste em fazer o aluno escrever ensaios sobre as razões pelas quais a resposta certa é certa, o aluno sempre corresponde? Bigode diz que sim. “Quando um professor não consegue implementar a resolução de problemas no curso de matemática, em geral é porque tem problemas com o material didático, cuja escolha cabe ao diretor. É porque o diretor escolheu o material didático pensando nas finanças da instituição, e não na didática.” Em 40 anos de profissão, Bigode nunca se arrependeu de dar ao aluno a oportunidade de mostrar do que é capaz. “Se você quer concluir a aula sorrindo, feliz da vida, faça o aluno raciocinar. Aluno gosta de raciocinar. Quando eu era mais jovem, uma de minhas professoras vivia me dizendo: Cuidado. Talvez a criança não tenha errado. Talvez ela tenha apenas resolvido outro problema.” {❏}



{2}/ Apêndice I: Erros quase certos

• Edda Curi diz que muita criança ignora o zero ao realizar operações aritméticas com números como 1.045 e 203; por exemplo, faz 1.045 + 203 = 168, pois ignora os zeros ao montar a conta de armar. “Pudera”, diz Edda: “muito professor vive dizendo que o zero não tem valor, e a criança leva essa frase ao pé da letra.”

Para ser mais preciso, de algum modo o professor precisa passar a ideia de que o zero tem duas propriedades: x + 0 = 0 + x = x para qualquer valor de x; e x · 0 = 0 · x = 0 para qualquer valor de x. De modo nenhum isso equivale a dizer: “O zero não tem valor”, que a criança vai interpretar como: “Você pode ignorar o zero porque ele não tem importância.”

• Certa vez, diz Bigode, um professor perguntou à classe quantos lados tem um cilindro. “Não é uma boa pergunta.” Um dos alunos respondeu: “Infinitos.” O professor considerou a resposta errada. “O menino entendeu que a base do cilindro é um polígono com infinitos lados, o que me parece uma ideia legítima.” Afinal, é assim que um programa de computador desenha um círculo: imprime uma linhazinha reta, muda o ângulo um pouquinho, imprime outra linhazinha reta, muda o ângulo um pouquinho, etc. “Sem saber, o aluno estava trabalhando com a ideia de limite, mas sua resposta foi tachada de errada porque não era aquela que o professor esperava.”

• Tem aluno que soma frações assim:

equation-10

Aqui, ele somou 2 com 4 e 3 com 5. Se o professor diz que isso está errado, sem perguntar como o aluno pensou, perde a chance de discutir um assunto bem legal: existem situações nas quais essa soma, feita desse jeito, faz sentido. Bigode explica: “Imagine que 2/3 significa dois gols em três jogos. Imagine ainda que o time jogou mais cinco jogos, dos quais ganhou quatro jogos. Daí ele ganhou seis jogos em oito jogos.”

Numa situação dessas, o que o professor deve fazer, de algum modo, é dizer ao aluno que o matemático deve explicar como dá sentido a cada entidade matemática. Por exemplo, o aluno deve descobrir que não pode trocar 6/8 por 3/4, pois, do modo como definiu essa operação de adição, ela não admite simplificações. (Se o campeonato dura oito jogos, dura oito jogos; o estudante não pode usar uma expressão que sugira um campeonato de quatro jogos.) Uma solução possível é inventar uma notação nova, que sinalize o fato de que o aluno não está lidando com a mera soma de números racionais; por exemplo:

equation-11



{3}/ Apêndice II: Os passos de Pólya

1. Primeiro, o matemático tem de entender qual é o problema. Para tanto, pode responder a perguntas como: O que tem de descobrir ou demonstrar? Será que compreende todas as palavras e símbolos usados na redação original do problema? (Se a redação foi feita por outra pessoa.) Pode reescrever o problema com suas próprias palavras? Pode esboçar figuras, gráficos, ou tabelas que o ajudem a compreender o problema? Será que tem informações suficientes para resolver o problema? Se não tem, pode achar as informações que faltam? Será que tem de elaborar uma pergunta antes de ir atrás da resposta que procura?

2. Entendido o problema, deve criar uma estratégia de ataque. Algumas delas: Tentar adivinhar a resposta. Fazer uma lista de respostas possíveis. Fazer uma lista das respostas absurdas. Achar algum tipo de simetria. Estudar casos especiais, especialmente casos mais simples. Montar uma equação, e tentar resolvê-la. Procurar padrões (coincidências recorrentes). Partir do pressuposto de que o problema já foi resolvido, e imaginar as consequências. Insistir no problema, ter paciência, dormir — essa é a receita para ter uma ótima ideia logo ao despertar.

3. Deve executar o plano. Pólya pede ao estudante que não desanime com seu estado de confusão: todo matemático, enquanto está no processo de resolução de um problema, está em estado de confusão.

4. Uma vez que o problema esteja resolvido, deve voltar atrás e revisar cada detalhe. Talvez ache um erro. Talvez tenha uma ideia que leve a uma resolução melhor. Nessa fase, é importante pôr no papel o que funcionou e o que não funcionou, pois tal conhecimento será útil no futuro. Com o problema resolvido e revisado, é hora de escrever: matemáticos resolvem problemas não para achar a resposta certa, mas para explicar tim-tim por tim-tim por que a resposta certa é certa.



{4}/ Apêndice III: Multiplicando por um, somando zero

Suponha um estudante, codinome Pólya, que uma vez teve de realizar a divisão a seguir, na qual x denota um número real qualquer (com exceção de zero):

equation-12

Pólya está habituado a multiplicar números reais por 1 e sabe mexer com expoentes. Decidiu então multiplicar o quociente por 1, isto é, por x−3/x−3:

equation-13

Noutra ocasião, Pólya teve de trabalhar com a expressão a seguir:

equation-14

Viu que, se pudesse inverter o sinal dos termos no numerador, teria a oportunidade de simplificar a expressão. Então a multiplicou por 1, isto é, por (–1)/(–1):

equation-15

O resultado só é válido para x ≠ –1 e para x ≠ 1 (por causa da expressão original).

Pólya também costuma usar outro recurso, tão útil quanto esse, que é somar zero a alguma expressão — o que não altera seu valor. Por exemplo, um dia começou com x2 + y2, e daí somou à expressão 2xy − 2xy, que vale zero, e com isso pôde estabelecer a igualdade:

x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy

Essas duas ideias, multiplicar pela unidade e adicionar zero, são muito úteis. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 52, maio de 2015, pág. 24. A versão que acabou de ler foi revista e atualizada.

2. As entrevistas foram feitas pelos jornalistas Francisco Bicudo e Ludmila Fraccari.

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