Um problemão disfarçado de probleminha


Quando o matemático se depara com um problema aparentemente insolúvel, de tão difícil, pode adotar uma linha de ação pouco conhecida pelo leigo: tornar o problema ainda mais difícil. (Por incrível que pareça, essa providência às vezes dá resultados excelentes.) Walter Carnielli, professor no departamento de filosofia da Unicamp, tornou mais geral (e mais difícil) um problema da teoria dos números que até criança entende e aprecia, mas que ninguém ainda resolveu.



{1}/ Introdução à entrevista: filosofia e matemática

Um jovem acaba de se matricular num curso de filosofia e, todo pintado pelos colegas mais velhos, pensa: “Finalmente, vou estudar o que escolhi. Nada de física, de química, de matemática…” Quando chega à sala de aula, dá de cara com o professor de lógica, e eis que é um matemático. O jovem, que sempre foi mais “de humanas”, fica confuso. Talvez seja assim que alguns alunos da filosofia na Universidade Estadual de Campinas (Unicamp) se sentem quando encontram Walter Carnielli pela primeira vez. Matemático há mais de 30 anos, diz que um bom filósofo precisa conhecer uns poucos campos da matemática — por exemplo, lógica e teoria dos conjuntos. “Meus alunos não gostam muito, mas estudam. Digo que eles têm de olhar para os grandes filósofos como Kant, Aristóteles, e Platão, que prezavam muito a matemática.”

Muitos matemáticos famosos se transformaram em filósofos famosos — Bertrand Russell talvez seja o melhor exemplo. O estudante deve seguir seu exemplo. Quando o matemático conhece a história do mundo e das ideias, a filosofia da ciência, e por que as ciências são do jeito que são, corre menor risco de dizer bobagens. “Os grandes matemáticos sabem disso”, diz Carnielli. Na hora de propor um problema, porém, o matemático tem de ser minimalista, objetivo, caso contrário não sai do lugar. “O geômetra, por exemplo, tem de esquecer a noção filosófica de reta e tentar propor uma teoria axiomática sobre retas, pontos e planos. É uma questão de método, mas nada o impede de depois refletir sobre as consequências filosóficas do problema matemático. Ele não precisa ser um ignorante.”

Carnielli fez pesquisa em matemática e filosofia em diversos países, entre eles Alemanha e Estados Unidos. Diz que as duas disciplinas são “flores do mesmo jardim”. Há cerca de 20 anos, Carnielli mudou-se para o departamento de filosofia da Unicamp, que hoje abriga o departamento de lógica. Chegou a haver uma discussão na Unicamp sobre se lógica fazia ou não fazia parte do departamento de matemática. “Podemos dizer que essa discussão estava ocorrendo no início dos anos 1990 em vários lugares do Brasil. Então, no fim das contas, eu e todo o pessoal de lógica fomos para a filosofia.” Ele escolheu a profissão por causa de uma ideia que dá muito debate filosófico. Desde o ensino médio se surpreendia com a existência do infinito, e se perguntava como o homem pode ter algum domínio sobre o infinito com a ajuda de matemática. Hoje vê que o problema do infinito é maior do que imaginava — ainda bem, pois é por meio do infinito que a humanidade chegou a descobertas bonitas e úteis. Sequências e séries estão entre elas; mas também está a generalização do problema de Collatz (sobre isso, veja a seção 3).

Há dois anos, Carnielli generalizou esse problema “demoníaco”. Foi dormir pensando nele e, depois de um sonho, acordou com a sensação: “É óbvio: se não posso resolvê-lo, devo piorá-lo.” Escreveu um artigo sobre uma generalização possível desse problema fácil de entender, mas avisa que o transformou em infinitos problemas e o deixou ainda mais difícil de resolver.



{2}/ A entrevista em si

Como se tornou matemático?

Se eu tivesse de botar a culpa em alguma coisa por ter feito matemática, colocaria no infinito. Hoje vejo que o problema do infinito é maior do que eu pensava. Quando estava no ensino médio, um professor nos mostrou o método indutivo. Por exemplo, como o matemático prova que a soma dos primeiros ímpares sempre é igual a um quadrado perfeito? [começa recitar as contas] Olha: 1 + 3 = 4, que é 22; 1 + 3 + 5 = 9, que é 32; 1 + 3 + 5 + 7 = 16, que é 42; e assim por diante. Eu me perguntava: “Como com três passinhos provo algo sobre o infinito?” Guardadas as proporções, isso tem cara de prova da existência de Deus! [Risos] Aquilo me encucou profundamente. Afinal, quem me garantia que aquela prova daria certo? A ONU? O João Figueiredo, o presidente da época? Então fui entender na faculdade que são os fundamentos da matemática que me dão o direito de ter domínio sobre o infinito.

Também gosto muito do embate do finito com o infinito, isto é, da matemática discreta com a contínua. Se pudesse, faria uma pequena correção a Kronecker [Leopold Kronecker, matemático alemão do século 19], que disse: “Deus criou os números inteiros e o resto é obra do homem.” Para mim foi o demônio quem inventou os inteiros e o resto é obra do homem. Os problemas que envolvem os números inteiros são tremendamente difíceis. Deus soprou assim: “Inventem o infinito.” Aí o demônio falou: “Ah, é? Então vou jogar o finito para vocês. Pensarão que é fácil, mas vão tropeçar nele, e o finito vai atrapalhar a vida de todo mundo.” Acho que o infinito é uma invenção humana, mas é nosso monstro. Os números inteiros são demoníacos, o que é fácil de ver com o problema de Collatz.

Como conheceu o problema de Collatz?

Eu o conheci quando estava fazendo doutorado na Unicamp e fiz uma visita à USP. Durante um almoço, um colega me perguntou se conhecia “o problema do 3x + 1” [este é mais um dos vários nomes para o problema de Collatz]. É um problema tremendo. Eu me interessei por ser um dos mais simples de entender. Até mais simples do que o último teorema de Fermat, que inclui potenciação, ou a conjectura de Goldbach, em que a pessoa precisa saber o que é um número primo. Uma vez até mostrei o 3x + 1 para minha sobrinha de 10 anos. Qualquer pessoa consegue entender, só precisa saber tabuada, adição, e o que é par e ímpar.

Tentou resolver esse problema?

Tentei. Muitos matemáticos gastam um tempinho com ele. Eu gastei uns 15 anos [em 2013, quando ocorreu a entrevista]. Quando estou com insônia, penso nele para dormir. Ou quando estou no avião e começa uma turbulência, penso nesse problema e fico numa paz profunda. É como um calmante. Mas é claro que o problema de Collatz já me deixou bem frustrado. Já achei que tinha encontrado uma forma de resolvê-lo usando um negócio chamado sequências p-ádicas. Tentei aquele método por dias e depois de um tempo voltei ao ponto de partida. Mas foi há muito tempo e sei que não posso passar a vida pensando apenas nele. Tenho de dar aulas, escrever relatórios. Não posso escrever assim: “Como gastei meu tempo? Pensando num problema aparentemente insolúvel. E cheguei numa solução? Não.” Tenho um monte de problemas nos quais pensar e não fico obcecado pelo problema de Collatz, pois tenho um pouco de bom senso. Sei que beira o impossível e se quisesse resolvê-lo só faria isso da vida. E talvez uma vida não seria suficiente; talvez 500 vidas não seriam suficientes.

Como faz para generalizar um problema ainda sem solução?

Fiz uma generalização do problema de Collatz há uns dois anos e sabe como tive acesso a essa ideia? Num sonho. Eu me perguntava por que ele é tão difícil e no sonho me veio na cabeça o seguinte: é difícil porque ele é ultra-super-simétrico, não tenho por onde segurar nele. Então pensei: se não posso resolvê-lo, será que não poderia piorá-lo? Acordei de manhã para tomar café e rabisquei a generalização num papel, ou caso contrário poderia esquecê-la. Em menos de três dias estava pronta, mas depois demorei para escrever um artigo bonito e organizado. Também consultei um especialista em teoria dos números para ver se alguém já não tinha tido essa mesma ideia. O matemático viu a ideia da generalização e achou que valia a pena [ele se chama Keith Matthews e vive na Austrália]. Outros matemáticos já tinham generalizado casos particulares do problema, mas o meu método era mais simples e direto.

Fiquei muito contente com essa generalização, porque é uma espécie de sobrevivência para sempre. Acho que esse problema vai ficar por aí até depois que a raça humana desaparecer. Talvez algum dia outros seres venham aqui, encontrem esse problema e digam: “Olha, aqui existia uma raça de bichos que se entretinha com uns problemas engraçados!” Problemas assim são uma espécie de legado do raciocínio humano.

Ainda brinca com o problema de Collatz?

Agora estou tentando aplicar métodos de sistemas dinâmicos para resolver a minha generalização. Como não sou especialista, contudo, tenho de estudar mais essa área. Outras pessoas já aplicaram esses métodos em outras variantes, mas não vão aplicar na minha. Se eu quiser que o meu problema avance, tenho de fazer isso eu mesmo. Por isso vou estudar por mais ou menos um ano esses métodos e ver se consigo dizer algo novo sobre ele. Se não conseguir nada em um ano, é porque não adianta continuar por esse caminho.

Na filosofia, os alunos precisam saber a linguagem matemática da lógica?

Precisam. Meus alunos aprendem. Não gostam muito, mas aprendem. Digo que olhem os grandes filósofos como Immanuel Kant, Aristóteles, Platão, que prezavam muito a matemática. Essa divisão ridícula de cursinho de vestibular entre exatas e humanas é antieducativa e perversa. A ciência, e o conhecimento humano em geral, é fruto da nossa maneira de pensar. Por que milagre a matemática dá certo para construir pontes? Quem disse que a ponte tem de se comportar como a matemática quer? É que nossa teoria sobre pontes é irmã da nossa teoria sobre matemática, somos nós que fazemos tudo. É besteira chamá-la de exata, pois somos nós que temos um ponto de vista. A ciência é um fruto humano. Toda ela: a matemática, a física, a ética, a literatura. É besteira querer separar.

Como é fazer matemática em outros países?

Não só a matemática, mas a cultura científica é diferente em cada país. Fiquei dois anos na Alemanha fazendo pesquisa e notei que os alemães, em geral, consideram a intuição algo privado. O matemático não tem de explicar a ninguém como funcionou sua intuição para resolver certo problema. Para eles, apenas a formalização e a justificativa são coisas públicas. Lembro que, às vezes, ia a encontros e tentava explicar minhas intuições, mas eles não gostavam de ouvir. Não lhes interessa muito essa questão, mas sim os resultados. Já os americanos e os brasileiros, por exemplo, gostam muito de ouvir sobre como você descobriu tal coisa, como sua intuição funcionou. Não digo que seja algo ruim a forma como a ciência sofre com essa questão cultural de cada país. Seria como comparar a culinária japonesa com a francesa. Ambas são boas, mas existem momentos distintos para cada uma, e acho que essas diferenças afetam o resultam global da ciência.

Já teve muitas angústias matemáticas?

Ainda tenho. É muito difícil propor e inventar algo original. Mais difícil ainda inventar algo original e relevante. Como também é difícil escrever bem sobre essa coisa e convencer as pessoas de que aquilo faz sentido. Depois de tudo isso, pode ser ainda que parte, ou tudo, daquilo já tenha sido feito por outra pessoa. Já aconteceu comigo muitas vezes e percebi que, se criar um pingo de novidade, já é bastante coisa. No próprio problema de Collatz, por exemplo, algumas pessoas já tinham feito a generalização de casos particulares parecidos com alguns dos meus casos. Minha generalização não é absolutamente nova. É mais simples, e promissora, mas não chega a ser uma pepita de ouro.

Na matemática, uma ideia sempre tem alguma intersecção com a ideia de outra pessoa. Só que é uma angústia, afinal passo um bom tempo entre ter a ideia e transformar aquilo em material de verdade. É como o inventor que passa um bom tempo entre inventar uma máquina e conseguir patrocínios, patentes, etc. Talvez também seja a angústia do escritor durante o tempo entre ter uma bela ideia e transformá-la num romance que vire um best-seller. Acho que é uma angústia humana: a angústia de todos. {❏}



{3}/ Apêndice I: o problema 3x + 1

Matemáticos acreditam que o alemão Lothar Collatz (1910-1990) propôs a conjectura 3x + 1 na primeira metade do século 20. Embora alguns acreditem que foi proposto em 1937, não há documentos escritos sobre o problema até os anos 1970, nem há certeza de quem originalmente o propôs. O enunciado mais simples do problema diz o seguinte:

Seja x um número inteiro positivo que serve de ponto de partida para a lei: se x for ímpar, a lei é 3x + 1; se x for par, é x/2. Se uma pessoa aplicar essas leis a qualquer inteiro positivo, e repeti-las a cada novo resultado, em algum momento a pessoa chegará a x = 1. Um leitor, por exemplo, inicia o processo pelo número 6, que é par, e faz a sequência de operações aritméticas logo abaixo. (Neste texto, excepcionalmente, leia a seta → assim: “leva naturalmente a”; por exemplo: leia AB com as palavras “A leva naturalmente a B”.)

x = 6

x = 6/2 = 3

x = 3 · 3 + 1 = 10

x = 10/2 = 5

x = 3 · 5 + 1 = 16

x = 16/2 = 8

x = 8/2 = 4

x = 4/2 = 2

x = 2/2 = 1

Assim, começando com x = 6, o leitor realiza oito iterações para chegar a x = 1, e produz a sequência 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. A conjectura de Collatz diz que, não importa o inteiro positivo com o qual o leitor comece a sequência, ela sempre desemboca em x = 1. É uma afirmação extraordinária, na verdade, pois algumas sequências dão a impressão de que vão se afastar de x = 1 em definitivo; por exemplo, caso o leitor comece com x = 27, vai produzir uma sequência com 112 termos, que subirá até x = 9.232 antes de descer até x = 1.

Muitos matemáticos, Walter Carnielli entre eles, tentaram e tentam resolver esse problema, que é chamado de muitas maneiras: problema de Siracusa, conjectura de Ulam, problema de Kakutani. Eles também fizeram várias mudanças na conjectura original, por exemplo para incluir inteiros negativos como ponto de partida. Por enquanto, usando computadores, especialistas só conseguiram evidências de que a conjectura é verdadeira para qualquer x ≤ 19 · 258 ≊ 5,48 · 1018. {❏}



{4}/ Apêndice II: Como tornar um problema difícil ainda mais difícil

Se o matemático não pode vencer um problema, às vezes, brinca com ele de outra forma. Pega o problema como se fosse massinha de modelar e o manuseia para criar novas formas, mas sem destruir a forma original. Carnielli fez algo assim com o problema 3x + 1, isto é, generalizou o problema para deixá-lo mais complicado. Para entender essa generalização, o leitor deve entender em primeiro lugar um jeito ligeiramente mais sofisticado de enunciar o problema original.


Problema. Seja uma sequência de inteiros positivos x1, x2, x3, x4, …, xn, cuja regra de formação funciona segundo a iteração a seguir.

equation-9

Não importa qual seja o valor inteiro positivo que atribua a x1, pode dizer que sempre será o caso de que xn = 1 para um número n suficientemente grande de iterações.


[Note que essa versão funciona apenas para inteiros positivos; o redator escolheu assim para simplificar a exposição. Um pouco de nada sobre a notação ab (mod c): é um jeito conveniente de dizer que, caso divida a por c, deve obter resto igual a b; ou então, o que é a mesma coisa, é um jeito conveniente de dizer que ab é um múltiplo de c. Umas poucas restrições, que, se quiser, pode ignorar: a pode ser um inteiro qualquer, positivo, nulo, ou negativo; c ≥ 2 é um inteiro; e 0 ≤ b < c.]

Ao colocar o problema desta forma, o leitor usou a aritmética módulo m (com m = 2) para descrever o que é um número par e um número ímpar. Como interpreta a primeira linha da função xn+1? Deve dividir o valor de xn por 2 se tal valor for congruente a 0 módulo 2, isto é, se tal valor, quando dividido por 2, deixe resto igual a 0; em termos mais simples, se tal valor for múltiplo de 2. Quanto à segunda linha, é a mesma coisa: Se o valor de xn for congruente a 1 no módulo 2 (isto é, se xn for ímpar e deixar resto 1 quando da divisão por 2), o leitor deve multiplicar tal valor por 3, somar 1 ao resultado, e dividir tudo isso por 2. Vai produzir uma sequência ligeiramente diferente daquela que Carnielli explicou durante a entrevista (e diferente da forma na seção 3), mas, mesmo assim, tal sequência sempre desemboca em xn = 1 para algum valor suficientemente grande de n. (Ou assim diz a conjectura.) Por exemplo, se começa com x1 = 6, produz a sequência 6, 3, 5, 8, 4, 2, 1.

Muitos matemáticos acham (e acharam) que vai demorar bastante para que alguém consiga resolver o problema de Collatz, pois, como diz Carnielli, esse problema tem “simetrias demais”. Toda vez que o leitor multiplica um número ímpar por 3 e soma um, restabelece a paridade par que pode ter sido quebrada no passo anterior. “Eu restabeleço e quebro a paridade par de novo e de novo”, diz Carnielli. “Então, para piorar o problema, pensei o seguinte: por que restabelecer a paridade se posso restabelecer o resto da divisão? Tudo é uma questão do resto da divisão.”

Escreveu então o artigo O Problema ax + b: A Generalização Mais Natural do Problema de Collatz. No artigo, propõe algo mais ou menos assim: em vez do matemático escolher um inteiro x ≠ 0 e verificar se é par ou ímpar, deve escolher um inteiro x ≠ 0 e também escolher com qual módulo d ≥ 2 gostaria de trabalhar. Carnielli conjecturou o seguinte: depois de um número finito de iterações, a sequência de inteiros entra num ciclo final com número finito de elementos, e além disso existe um número finito de ciclos finais possíveis. Para que tudo isso funcione, Carnielli escreveu duas funções um pouco diferente daquelas no problema original:

equation-10

O leitor talvez queira testar essa conjectura. Se começa com d = 2, vai simplesmente lidar com o problema original. Faça, à guisa de exemplo, d = 3, e comece a sequência com x1 = 4. Então, logo nota que, para aplicar uma das funções, precisa responder a duas perguntas:

x1 é múltiplo de 3? Se sim, pode imediatamente dividi-lo por 3.

x1 não é múltiplo de 3? Então, deve aplicar a segunda regra da função.

Eis como pode proceder a partir de x1 = 4. Bem, x1 = 4 não é múltiplo de 3; logo, use o algoritmo da divisão para escrever 4 = 3 · 1 + 1; assim, i = 1 e, ao aplicar a segunda regra, deve chegar a:

equation_11

Usando esse método com cuidado, vai produzir a sequência 4, 6, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, …. Portanto, a sequência para x1 = 4 e d = 3 é 4, 6, 2, 3, 1, e o ciclo final é 2, 3, 1.

Com tudo isso, agora o leitor tem ideia do que Carnielli fez: para testar a conjectura generalizada de Collatz, o matemático tem de testar não apenas cada inteiro de um conjunto infinito de inteiros diferentes de zero, mas cada inteiro com cada módulo d ≥ 2. É trabalho que não acaba mais.

Carnielli diz que talvez um dos leitores se pergunte: “Por que alguém gasta seu tempo para deixar um problema mais difícil do que já é? E por que uma universidade ainda por cima paga a essa pessoa um salário?” Eis a resposta: “Tais problemas”, diz Carnielli, “são minas de ouro, são riquíssimos em sabedoria, pois nos mostram claramente os limites do homem, da matemática, e da ciência.” {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa entrevista pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 25, fevereiro de 2013, pág. 20. A versão que acabou de ler foi revista e atualizada.

2. A entrevista foi realizada pela jornalista Mariana Osone.

Deixe um comentário

Preencha os seus dados abaixo ou clique em um ícone para log in:

Logotipo do WordPress.com

Você está comentando utilizando sua conta WordPress.com. Sair /  Alterar )

Foto do Google

Você está comentando utilizando sua conta Google. Sair /  Alterar )

Imagem do Twitter

Você está comentando utilizando sua conta Twitter. Sair /  Alterar )

Foto do Facebook

Você está comentando utilizando sua conta Facebook. Sair /  Alterar )

Conectando a %s