O lamento de um matemático

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Artigo de: Paul Lockhart

Paul Lockhart é matemático, e por escolha própria dá aulas para crianças numa escola particular de Nova York (Estados Unidos). Escreveu a primeira versão deste lamento em 2002, com a qual ficou famoso na internet; sete anos depois, em 2009, transformou o lamento num livro ao adicionar um capítulo inédito, “Exultação”, no qual ajuda o leitor a ver como um matemático se sente bem ao explorar a realidade matemática.

A parte mais triste das reformas didáticas são as tentativas de tornar a matemática interessante e de torná-la relevante na vida das crianças. Ninguém precisa tornar a matemática interessante — ela já é mais interessante do que podemos suportar! E sua glória é sua completa irrelevância na vida cotidiana. É por isso que é tão divertida!


stock-illustration-67039759-musica-musica-notaUm músico acorda de um pesadelo terrível. No sonho, vivia numa sociedade que tinha tornado o ensino de música obrigatório. “Ajudamos nossos alunos a competir melhor num mundo cada vez mais cheio de sons.” Educadores, escolas, e o governo assumem o comando desse projeto vital. Encomendam estudos, formam comissões, tomam decisões — tudo sem consultar um único músico ou compositor.

Ora, todos sabem que músicos põem suas ideias no papel na forma de partitura; logo, as linhas e pontinhos pretos devem servir de base para a “linguagem da música”. É imperativo, portanto, deixar os estudantes fluentes nessa linguagem — senão, como podem obter algum grau de competência musical? Seria ridículo esperar que uma criança cante uma canção ou toque um instrumento sem que antes tenha ótima base sobre a teoria e a notação musicais. As pessoas no comando do projeto vital consideram tocar e ouvir música tópicos avançadíssimos (sem falar de compor uma peça original), que devem ser adiados até a faculdade — quem sabe até a pós-graduação.

Quanto à escola primária e secundária, sua missão é treinar os estudantes no uso dessa linguagem — jogar os símbolos aqui e ali de acordo com um conjunto fixo de regras. “Na aula de música”, dizia um aluno, “tiramos nosso papel pautado, nosso professor coloca algumas notas na lousa, e nós as copiamos ou as transpomos para uma oitava diferente. Temos de nos certificar de que acertamos nas chaves e na tonalidade, e nosso professor verifica se nossas semínimas preenchem o compasso. Uma vez, ele nos deu um problema de escala cromática, e eu fiz tudo certinho, mas ganhei zero porque as hastes das minhas notas apontavam para o lado errado.”

Em sua sabedoria, os educadores logo percebem que podem dar esse tipo de instrução musical mesmo a criancinhas. Na verdade, se seu filho na terceira série ainda não decorou o círculo de quintas, isso é uma vergonha. “Vou ter de contratar um professor particular de música para meu filho. Ele simplesmente não se dedica à lição de casa. Diz que é chata. Fica lá, olhando pela janela, cantarolando musiquinhas para si mesmo, e compondo canções bobinhas.”

Nas séries mais avançadas, a pressão sobe muito mais. Afinal, os alunos devem se preparar para os exames padronizados e o vestibular. Precisam de aulas sobre escalas e tons, solfejo, harmonia, contraponto. “É muita coisa para estudar, mas mais tarde, na faculdade, quando finalmente começarem a ouvir tudo isso, vão apreciar todo o trabalho que tiveram até o ensino médio.” É óbvio que poucos estudantes se matriculam num curso que exija tanta música, de modo que só uns poucos vão ouvir os sons que os pontos pretos representam. Apesar disso, é importante que cada membro da sociedade reconheça um tom menor ou maior, ou uma passagem em fuga, independente do fato de que nunca ouvirão nada assim. “Para dizer a verdade, os alunos não são lá muito bons de música. Eles se entediam durante a aula, suas habilidades são péssimas, e mal consigo ler sua lição de casa. Quase todos não se interessam nem um pingo por música, e, para se livrar logo da chatice, se matriculam no menor número possível de cursos obrigatórios. Acho que há gente com dom para a música e gente sem nenhum dom. Eu tive uma aluna, contudo — cara, ela era sensacional! Suas páginas eram impecáveis: cada nota no lugar certo, caligrafia perfeita, sustenidos, bemóis, tudo lindo. Um dia, ela vai se transformar num baita músico.”

Ao acordar suando frio, o músico percebeu, com gratidão, que tudo aquilo era apenas um pesadelo louco. “É claro”, ele disse a si mesmo: “nenhuma sociedade reduziria uma forma de arte tão bonita e expressiva a algo tão estúpido e trivial; nenhuma cultura seria tão cruel com suas crianças a ponto de privá-las de um modo de expressão tão humano, tão natural, tão satisfatório. Que absurdo!”

* * *

stock-illustration-58101060-preocupado-meninoInfelizmente, nosso sistema atual de educação matemática é precisamente esse tipo de pesadelo. Se me pedissem para criar um sistema cujo propósito expresso fosse o de destruir na criança sua curiosidade natural e seu amor pelos padrões, não conseguiria fazer trabalho melhor do que aquele que já vem sendo feito; não teria a imaginação necessária para inventar métodos tão bons de desanimar alguém como os que estão na base de nosso sistema atual de educação matemática.

Todo mundo sabe que algo está errado. Os políticos dizem: “Precisamos de diretrizes mais elevadas.” As escolas dizem: “Precisamos de mais dinheiro e equipamentos.” Pedagogos dizem uma coisa, e professores, outra. Estão todos errados. As únicas pessoas que entendem o que está acontecendo são as que levam a culpa e que nunca são ouvidas: os alunos. Eles dizem: “As aulas de matemática são estúpidas e chatas.” Na mosca!

Matemática e cultura. A primeira coisa a entender é que a matemática é uma arte. A diferença entre a matemática e as outras artes, como a música ou a pintura, é que nossa cultura não a reconhece como arte. Todo mundo entende que poetas, pintores, músicos criam obras de arte e se expressam com palavras, imagens, sons. Nossa sociedade é generosa com os que usam a criatividade: ela vê arquitetos, cozinheiros, e até mesmo diretores de TV como artistas profissionais. Por que não os matemáticos?

Parte do problema é que ninguém tem a menor ideia do que os matemáticos fazem. Muitos acham que o matemático está de algum modo conectado com o cientista: talvez ele o ajude com as fórmulas, ou quem sabe forneça aos computadores números enormes. Não tenho dúvida de que, se fosse preciso dividir os habitantes do mundo entre “sonhadores poéticos” e “pensadores racionais”, quase todos colocariam os matemáticos entre os pensadores racionais.

No entanto, não há nada mais sonhador ou poético, nada tão radical, subversivo, e psicodélico quanto a matemática. Ela é tão surpreendente quanto a cosmologia ou a física (matemáticos conceberam os buracos negros muito antes que algum astrônomo achasse um), e permite maior liberdade de expressão que a poesia, a pintura, ou a música (que dependem muito das propriedades do mundo físico). A matemática é a mais pura das artes, assim como a mais incompreendida.

Permita-me explicar, portanto, o que é a matemática e o que os matemáticos fazem. Nada melhor que começar com a excelente descrição de Godfrey Harold Hardy (1877-1947):

“Um matemático, assim como um pintor ou poeta, é um criador de padrões. Se seus padrões são mais permanentes que os deles é porque são feitos de ideias.”

Então, os matemáticos se acomodam no sofá para criar padrões com ideias. Que tipo de padrão? Que tipo de ideia? Ideias sobre rinocerontes? Não, essas deixamos aos biólogos. Ideias sobre a linguagem e a cultura? Em geral, não. Coisas assim são complicadas demais para o gosto da maioria dos matemáticos. Se existe um princípio estético unificador na matemática, é este: simples é lindo. Matemáticos adoram pensar nas coisas as mais simples possíveis, e as coisas mais simples são imaginárias.

Por exemplo, se estou a fim de pensar sobre formas (como em geral estou), posso imaginar um triângulo dentro de uma caixa retangular.

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Eu me pergunto: o triângulo ocupa quanto da caixa? Dois terços, talvez? É importante que entenda que não estou falando desse desenho de um triângulo numa caixa. Nem estou falando de um triângulo de metal, que faz parte das vigas numa ponte. Não tenho em mente nenhuma finalidade prática ulterior. Estou apenas brincando. Matemática é isso — querer saber, brincar, divertir-se com a própria imaginação. Basta dizer que essa questão, quanto da caixa o triângulo ocupa, nem faz muito sentido no caso de objetos palpáveis. Mesmo o triângulo mais bem construído do mundo ainda é uma coleção complicadíssima de átomos que não param quietos, e ele muda de tamanho de um minuto para o outro [conforme a temperatura aumenta ou diminui]. Talvez você queira falar de medidas aproximadas. É aí que entra a estética da matemática. Medições aproximadas são complicadas, e como consequência a questão fica feia, pois depende de mil detalhes do mundo real. Que tal deixá-la para cientistas? Nossa questão matemática é sobre um triângulo imaginário dentro duma caixa imaginária. As bordas são perfeitas porque queremos que sejam perfeitas — é sobre esse tipo de objeto que prefiro refletir. Esse é um dos grandes temas da matemática: as coisas são o que você quer que elas sejam. Você tem infinitas opções, pois não há nenhuma realidade para atrapalhar.

Por outro lado, depois que faz suas escolhas (eu, por exemplo, posso optar por um triângulo simétrico, ou não), daí suas criações se comportam do modo como se comportam, quer goste disso ou não. Essa é a coisa mais extraordinária sobre criar padrões imaginários: eles conversam com você! O triângulo vai ocupar certa parcela da caixa, e eu não tenho nenhum controle sobre o tamanho da parcela. Existe um número nesse reino da imaginação; talvez seja dois terços, talvez não seja, mas não posso prefixar tal número. Tenho de descobrir qual é.

Então você brinca, e imagina o que lhe der na telha, e constrói padrões, e faz perguntas sobre eles. Mas como pode respondê-las? Não falo de ciência de jeito nenhum. Não há experimentos que possa fazer com tubos de ensaio e equipamentos e outros acessórios, e que lhe digam a verdade sobre o que é puro fruto de sua imaginação. A única forma de descobrir a verdade sobre a imaginação é usando a imaginação, o que significa trabalhar duro.

No caso do triângulo numa caixa, vejo algo simples e bonito:

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Se corto o triângulo em duas peças, como no desenho, posso ver que cada peça da caixa está cortada na diagonal por um dos lados do triângulo. Então, há tanto espaço dentro do triângulo quanto fora dele. Isso significa que o triângulo ocupa metade da caixa!

É com isso que um pedacinho de matemática se parece, e é essa a sensação que provoca. Essa breve narrativa é um exemplo da arte matemática: você faz perguntas simples e elegantes sobre suas criações imaginárias, e elabora explicações satisfatórias e bonitas. Não há nada como esse reino das ideias puras; ele é fascinante, é divertido, é grátis!

Agora, de onde tirei essa ideia? Como eu sabia desenhar aquela linha pontilhada? Como um pintor sabe onde colocar o pincel? Inspiração, experiência, tentativa e erro, pura sorte. Essa é a arte da coisa, a de criar esses belos poeminhas de pensamento, esses sonetos de pura razão. Há algo tão transformador nessa forma de arte! A relação entre o triângulo e o retângulo era um mistério, e em seguida uma linha pontilhada a tornou óbvia. A princípio eu não podia vê-la, mas de repente pude. De algum modo, fui capaz de criar algo belo e simples a partir do nada, e modifiquei a mim mesmo no processo. Não é isso o que é a arte em todo lugar?

É por isso que acho tão triste ver o que fazem com a matemática na escola. Essa aventura da imaginação, tão rica e fascinante, tem sido reduzida a um conjunto estéril de “fatos” a memorizar e procedimentos a seguir. Em lugar de uma pergunta simples e natural sobre formas, e de um processo criativo e gratificante de invenção e de descoberta, os alunos são tratados assim:

A fórmula da área do triângulo

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“A área do triângulo é igual à base vezes a altura, tudo isso dividido por dois.” Os estudantes têm de memorizar essa fórmula, para depois aplicá-la de novo e de novo em “exercícios”. Lá se foi a emoção, a alegria, e até mesmo a dor e a frustração do ato criativo. Não há mais nem mesmo um problema. A pergunta foi feita e respondida ao mesmo tempo, e para o aluno não sobrou nada a fazer.

Eu gostaria de deixar claro ao que estou me contrapondo. Não me contraponho às fórmulas, ou à memorização de fatos interessantes. No contexto certo, isso é bom, e cumpre seu papel, assim como estudar o vocabulário nos deixa mais capazes de criar poemas ricos e sutis. Mas não importa o fato de que os triângulos ocupem metade da caixa retangular na qual estão inscritos. O que importa é a bela ideia de cortar a caixa em duas com a linha pontilhada, e como essa ideia pode levar a outras realizações e inspirar outras ideias em outros problemas — coisas que a mera afirmação de um fato jamais lhe dará.

Ao retirar o processo criativo e mostrar apenas os resultados do processo, na prática eu garanto que ninguém vai se comprometer de verdade com a matéria. É como se te dissesse que Michelangelo criou uma bela escultura, mas não o deixasse vê-la. Como pode se inspirar com algo assim? (Claro, na matemática a situação é bem pior que essa, pois pelo menos entende que existe a arte da escultura, e que eu te impedi de apreciar uma escultura específica.)

Ao se concentrar no quê, e deixar de fora o por quê, reduzem a matemática a uma concha vazia. A arte não está na “verdade”, mas na explicação, no argumento. Você usa o próprio argumento para determinar a verdade conforme o contexto, e determinar o que está dizendo e o que pretende dizer. A matemática é a arte de dar explicações. Se você nega aos alunos a oportunidade de se envolver nessa atividade, de propor seus próprios problemas, de produzir suas próprias conjecturas e fazer suas próprias descobertas, de errar, de se frustrar com o processo criativo, e de remendar e editar suas próprias explicações e demonstrações, daí nega aos estudantes a matemática em si. Então, não, não estou reclamando da presença de fatos e fórmulas nas aulas de matemática: estou reclamando da falta de matemática nas aulas de matemática.

513428490Talhados para a arte. Caso seu professor de artes plásticas lhe dissesse que pintar significa preencher as regiões numeradas com as cores certas, você saberia que algo está errado. A cultura te diz o contrário — há museus e galerias, e há arte também na sua casa. A sociedade vê a pintura como um meio de expressão. Da mesma forma, se seu professor de ciências tenta convencê-lo de que a astronomia significa prever o futuro de uma pessoa com base na data de nascimento, você saberia que ele está doido — a ciência se infiltrou na cultura a tal ponto que quase todo mundo sabe um pouco sobre átomos e galáxias e as leis da natureza. Mas caso seu professor de matemática te dê a impressão de que a matemática trata de fórmulas e definições e decoreba de algoritmos (de forma expressa ou por omissão), quem pode ajudá-lo a ver o erro?

Esse problema cultural é um monstro que se autoperpetua: os alunos estudam matemática com seus professores, que a estudaram com seus professores, de modo que os mal-entendidos sobre ela se reproduzem indefinidamente. Pior, ao perpetuar essa pseudomatemática, ao enfatizar essa manipulação acurada mas sem sentido de símbolos, o sistema cria sua própria cultura e seu próprio conjunto de valores. Aqueles que se tornaram hábeis em pseudomatemática obtêm grande prazer com o próprio sucesso. A última coisa que querem ouvir é que a matemática tem tudo a ver com criatividade crua e com sensibilidade estética. Muito estudante de pós-graduação se sente fracassado quando descobre, depois de dez anos ouvindo que é “bom de matemática”, que não tem nenhum talento matemático real, e que na verdade era bom de seguir instruções. A matemática não tem nada a ver com seguir regras, mas com a criação de novas regras.

E ainda nem mencionei a falta de crítica à matemática na escola. Em nenhum momento a escola permite que os estudantes descubram que a matemática, como qualquer outro tipo de literatura, é criada por seres humanos para sua própria diversão; que eles submetem seus trabalhos de matemática à avaliação de outros seres humanos; que uma pessoa pode ter bom gosto matemático, e que pode desenvolvê-lo. Uma composição matemática é como um poema, e podemos perguntar se ela satisfaz nossos critérios estéticos: O argumento é sólido? Faz sentido? É simples e elegante? Me faz chegar perto do cerne da questão? É claro que não há nenhuma crítica acontecendo na escola — não há nenhuma arte sendo feita para criticar!

Por que não querem que nossas crianças aprendam a fazer matemática? Será porque não confiam nelas, ou porque acham a tarefa difícil demais? Pois acham que elas são capazes de elaborar argumentos e de chegar a conclusões sobre Napoleão — por que não sobre triângulos? Penso que nossa civilização (todos nós) não sabe o que é a matemática. Dão-nos a impressão de que é fria e altamente técnica, de que ninguém a pode entender — e isso é uma profecia autorrealizável, se é que já existiu alguma.

Já seria ruim o bastante se a cultura fosse apenas ignorante de matemática, mas a situação é pior: a cultura pensa que sabe o que a matemática é — e vive o equívoco grosseiro de que a matemática, de alguma forma, é útil para a sociedade! Isso já é uma enorme diferença entre a matemática e as outras artes. A cultura vê a matemática como um tipo de ferramenta para o cientista e o engenheiro. Todo mundo sabe que o poeta e o músico fazem poesia e música pelo prazer que elas lhes proporcionam, e para enriquecer e enobrecer o espírito humano (e daí sua virtual eliminação do currículo da escola pública). Mas não pode ser assim com a matemática — a matemática é importante.

Simplício: Você está tentando afirmar que a matemática não serve a nenhuma utilidade ou aplicação prática na sociedade?

Salviati: É claro que não. Estou sugerindo que, só porque algo resulta em consequências práticas, não significa que se resume a isso. Pode usar a música para conduzir exércitos para a batalha, mas não é por isso que as pessoas escrevem sinfonias. Michelangelo decorou o teto de uma capela, mas tenho a certeza de que ele tinha coisas mais elevadas em mente.

Simplício: Mas não precisamos que as pessoas estudem essas consequências úteis da matemática? Não precisamos de contadores e de carpinteiros e tudo o mais?

Salviati: Quantas pessoas realmente usam alguma dessa “matemática prática” que elas veem na escola? Você acha que os carpinteiros estão lá fora usando trigonometria? Quantos adultos se lembram de como dividir frações, ou resolver uma equação quadrática? Obviamente o atual método de adestramento prático não está funcionando, e por uma boa razão: ele é terrivelmente chato, e ninguém o usa de qualquer jeito. Então por que as pessoas pensam que esse método é tão importante? Não vejo qual bem está fazendo à sociedade, se seus membros andam por aí com vagas memórias de fórmulas algébricas e diagramas geométricos e claras memórias de as terem odiado. Poderia fazer algum bem, contudo, mostrar-lhes algo bonito e lhes dar a oportunidade de desfrutar o pensamento criativo, flexível, aberto. É o tipo de coisa que uma educação matemática verdadeira pode proporcionar.

Simplício: Mas as pessoas precisam da capacidade de calcular o saldo na conta-corrente, não é mesmo?

Salviati: Tenho a certeza de que a maioria das pessoas usa uma calculadora para a aritmética do dia a dia. E por que não usaria? É mais fácil e confiável. Mas o meu ponto não é que o sistema atual é terrivelmente ruim, e sim que poderia ser admiravelmente bom! A matemática deveria ser ensinada como uma arte pela própria arte. Os aspectos mundanos “úteis” surgiriam naturalmente, como um subproduto sem importância. Beethoven poderia facilmente escrever um jingle publicitário, mas quando estudava música sua motivação era criar algo bonito.

Simplício: Mas nem todo mundo é talhado para ser artista. E quanto às crianças que não são “gente de matemática”? Como elas se encaixariam no seu esquema?

Salviati: Se o sistema expusesse a todos à matemática em seu estado natural, com todos os desafios divertidos e as surpresas que isso implica, acho que haveria uma mudança dramática tanto na atitude dos alunos com relação à matemática quanto no significado da expressão “ser bom de matemática”. Estamos perdendo tantos matemáticos talentosos — gente inteligente e criativa, que corretamente rejeita o que lhes parece um assunto sem sentido e estéril. Essa gente é inteligente demais para desperdiçar seu tempo com baboseiras.

Simplício: Mas não acha que, se as aulas de matemática se parecessem mais com aulas de arte, muitas crianças simplesmente não aprenderiam nada?

Salviati: Mas elas já não aprendem nada! É melhor não haver aulas de matemática do que haver as aulas que conhecemos hoje. Pelo menos assim algumas pessoas teriam a chance de descobrir algo bonito por conta própria.

Simplício: Então você removeria a matemática do currículo escolar?

Salviati: Já foi removida! A questão é o que fazer com a casca insípida e oca que sobrou. É claro que eu preferiria substituí-la por um engajamento ativo e alegre com ideias matemáticas.

Simplício: Mas quantos professores de matemática sabem a matéria bem o bastante para ensiná-la desse jeito?

Salviati: Poucos, e isso é apenas a ponta do iceberg.

stock-illustration-9984415-isometric-sala-de-aulaA matemática na escola. Não há jeito mais confiável de matar o entusiasmo e o interesse num assunto do que torná-lo parte obrigatória do currículo escolar. Classifique o assunto como componente importante de testes padronizados e do vestibular e espere um pouco: o sistema de ensino vai sugar a vida dele. Comitês escolares não entendem o que é a matemática, nem educadores, autores de livros didáticos, editoras nem, infelizmente, a maioria dos professores de matemática. A abrangência do problema é tão grande que mal consigo pensar por onde começo.

Que tal começar com o desastre da “reforma da matemática”? Há muitos anos cresce a consciência de que algo está podre no reino da educação matemática. Já encomendaram estudos, montaram conferências e formaram centenas de comitês de professores, pedagogos e editores de livros didáticos para “resolver o problema”. Sem levar em consideração o interesse próprio da indústria livreira (ela lucra sempre que há uma flutuação mínima na política, pois pode vender edições “novas” de suas monstruosidades ilegíveis), tais reformadores sempre se enganam. Ninguém precisa reformar o currículo de matemática, pois ele tem de ser demolido.

Toda essa agitação e arrumação em torno de quais “tópicos” ensinar, ou qual notação usar, ou qual marca e modelo de calculadora os alunos devem comprar — pelo amor de Deus! Isso é como reorganizar as cadeiras no convés do Titanic! A matemática é a música da razão. Fazer matemática é se engajar num ato de descoberta e de conjectura, de intuição e inspiração; é estar num estado de confusão — não porque ela não faz sentido, mas porque você lhe deu sentido e ainda não entendeu como sua criação reagirá no fim das contas; é ter uma ideia inovadora; é se sentir um artista frustrado; é se sentir reverente, esmagado por uma beleza quase dolorosa; maldição — é estar vivo! Tire isso tudo da matemática e poderá organizar quantas conferências quiser: não fará nenhuma diferença. Doutores, passem o bisturi onde bem entender: seu paciente já está morto.

A parte mais triste dessas reformas todas são as tentativas de “tornar a matemática interessante” e de torná-la “relevante na vida das crianças”. Ninguém precisa tornar a matemática interessante — ela já é mais interessante do que podemos suportar! E sua glória é sua completa irrelevância na nossa vida cotidiana. É por isso que é tão divertida!

As tentativas de apresentar a matemática como relevante para a vida cotidiana inevitavelmente parecem forçadas e artificiais: “Vejam, crianças, vocês já sabem álgebra, então podem descobrir a idade de Maria se nós sabemos que ela está dois anos mais velha que duas vezes a idade que tinha há sete anos!” (Como se alguém teria acesso a esse ridículo fragmento de informação, e não à idade logo duma vez.) A álgebra não trata da vida cotidiana, mas de números e simetrias — o que a torna uma busca válida por si mesma:

“Suponha que me dão a soma e a diferença entre dois números. Como posso descobrir que números são esses?”

Eis uma pergunta simples e elegante, que não requer nenhuma edição para que pareça atraente. Os antigos babilônios gostavam de trabalhar com tais problemas, assim como nossos alunos. (E eu espero que também goste de pensar sobre ele!) Não precisamos nos desdobrar para dar relevância à matemática. Ela tem a mesma relevância da arte: a de ser uma experiência humana vívida.

De qualquer forma, você acha que as crianças querem coisas relevantes para a vida cotidiana? Realmente acha que algo prático como juro composto vai deixá-las excitadas? As pessoas gostam de fantasia, e isso é exatamente o que a matemática lhes pode prover — um alívio ao dia a dia, um paliativo à carga imposta pelo mundo cotidiano.

Um problema semelhante ocorre quando professores e autores sucumbem ao “bonitinho”. É quando, numa tentativa de combater a chamada “ansiedade à matemática” (uma das muitas doenças causadas pela própria escola), tentam transformar a matemática numa coisa “amigável”. Para ajudar os alunos a memorizar as fórmulas com as quais calcular a área e a circunferência do círculo, por exemplo, talvez invente essa história de cantar a musiquinha “o círculo é roda, não fica parado/ e o raio que parte do centro ele tem/ calculo sua área e fico ligado/ que é pi vezes o raio elevado ao quadrado”, ou alguma bobagem como essa. Mas por que não contar a história real? Por que não falar da luta da humanidade com o problema de medir curvas? De Eudoxo e Arquimedes e o método da exaustão? Da transcendência de π? O que é mais interessante: medir as dimensões aproximadas de um desenho em forma de círculo, usando uma fórmula que alguém lhe forneceu de antemão (e o fez memorizá-la e praticá-la de novo e de novo), ou ouvir a história do problema mais belo e fascinante de todos, e a história da ideia mais brilhante e poderosa na história da humanidade? Pelo amor de Deus! Estão matando nas pessoas o interesse pelos círculos!

Por que não damos a nossos alunos nem mesmo a chance de ouvir sobre essas coisas, sem mencionar a chance de realmente fazer um pouco de matemática e chegar a ter suas próprias ideias, opiniões, reações? Que outro assunto é ensinado sem qualquer menção à sua história, filosofia, desenvolvimento temático, critérios estéticos e estado atual? Que outro assunto evita suas fontes primárias — belas obras de arte escritas por algumas das pessoas mais criativas na história da humanidade — em troca dos abastardamentos contidos em livros didáticos de terceira categoria?

stock-illustration-70952733-a-ideia-e-lampada-conceito-de-solucao-de-problemasSem problema. O principal problema da matemática na escola é que não há problemas. Ah, eu sei o que passa por problema numa aula de matemática — os insípidos exercícios. “Eis aqui um tipo de problema. Eis aqui uma receita para resolvê-lo. Sim, cairá na prova. Façam os exercícios ímpares de 1 a 35 como lição de casa.” Que jeito triste de estudar matemática: como um chimpanzé adestrado.

Mas um problema, uma questão humana e honesta, é outra coisa. Qual é o comprimento da diagonal de um cubo? Os números primos continuam para sempre? O infinito é um número? De quantas maneiras posso usar simetrias para pavimentar uma superfície? A história da matemática é a história de gente que se engajou com perguntas desse tipo, e não a regurgitação estúpida de fórmulas e algoritmos (mais os exercícios inventados especialmente para que possam ser usados).

Um bom problema é algo que você não sabe como resolver. É isso o que o torna um bom quebra-cabeça, e uma boa oportunidade. Um bom problema não fica lá sentado, quietinho em isolamento: ele serve de trampolim para outras questões interessantes. Um triângulo ocupa metade da caixa. E quanto a uma pirâmide dentro de uma caixa tridimensional? Será que podemos lidar com esse problema de um jeito similar?

Entendo a ideia de adestrar os alunos para que dominem certas técnicas. Eu também faço isso, mas nunca como um fim em si mesmo. Na matemática, assim como em qualquer arte, as técnicas devem ser estudadas conforme o contexto. Os grandes problemas, sua história, o processo criativo — eis o cenário adequado. Dê a seus estudantes um bom problema, deixe-os lutar com ele, deixe-os gemer de frustração. Veja o que inventam. Espere até que estejam morrendo de vontade de conhecer uma ideia, e só então lhes dê algumas técnicas, mas não muitas.

Então guarde seus planos de aula e seu retroprojetor, seus livros didáticos coloridos e abomináveis, seus CD-ROMs e todo o circo itinerante das coisas grotescas que hoje compõem a educação, e simplesmente faça matemática com seus alunos! Professores de arte não perdem seu tempo com livros didáticos e com a decoreba de técnicas específicas. Eles fazem o que é natural na matéria a qual ensinam: põem as crianças para pintar. Andam pela sala de cavalete em cavalete, e dão sugestões e orientação:

— Eu estava pensando no nosso problema do triângulo, e notei uma coisa. Se o triângulo for realmente inclinado, ele não ocupa metade da caixa! Veja! Veja!

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— Mas que observação excelente! Nosso argumento pressupõe que um dos lados do triângulo coincide com um dos lados da caixa. Agora precisamos de uma ideia nova.

— Devo tentar cortá-lo de maneira diferente?

— Claro que sim. Deve tentar todo tipo de ideia. Me diga depois em que pensou!

517864692Contemplação lenta. Então, como vamos ensinar nossos alunos a fazer matemática? Que tal escolher problemas envolventes, que surjam naturalmente, adequados ao gosto de cada um, assim como à sua personalidade e grau de experiência? Que tal dar-lhes tempo para descobrir coisas e formular conjecturas? Depois, devemos ajudá-los a refinar seus argumentos e a criar uma atmosfera matemática na qual haja críticas saudáveis e reveladoras. Seremos flexíveis, abertos a mudanças bruscas de direção provocadas pela curiosidade deles. Em resumo, tendo um relacionamento intelectual honesto com nossos alunos e nossa matéria.

Evidente: o que estou sugerindo é impossível por causa de um monte de razões. Mesmo que eu coloque de lado o fato de que o currículo estatal e o vestibular na prática eliminam a autonomia do professor, duvido que a maioria dos professores queira uma relação tão intensa com seus alunos. Tal relação implica muita vulnerabilidade e responsabilidade — em suma, muito trabalho!

É mais fácil ser um canal passivo dos “materiais” de alguma editora e seguir a instrução “dê aulas, dê provas, repita” do que pensar, profunda e cuidadosamente, no significado da matemática e no melhor jeito de transmiti-lo direta e honestamente aos alunos. Nos encorajam a renunciar à difícil tarefa de tomar decisões com base na nossa própria sabedoria e consciência, para “cumprir o cronograma”. Esse é simplesmente o caminho mais fácil:

EDITORES DE LIVROS DIDÁTICOS : PROFESSORES ::

A) empresas farmacêuticas : médicos

B) gravadoras : DJs

C) corporações : congressistas

D) todas as anteriores

O problema é que a matemática, assim como a pintura e a poesia, é trabalho criativo árduo. Isso a torna difícil de ensinar. A matemática é um processo contemplativo e lento. O praticante precisa de tempo para produzir uma obra de arte e precisa de um professor qualificado, que saiba reconhecer a arte quando a vê. É claro que é mais fácil divulgar um conjunto de regras do que orientar jovens artistas, do mesmo modo que é mais fácil escrever o manual de operação de um videocassete do que um livro de verdade, com ponto de vista e tudo o mais.

A matemática é uma arte, e toda arte deve ser ensinada por artistas na ativa ou, senão, pelo menos por pessoas que sabem apreciá-la e reconhecer uma obra de arte quando veem uma. Você não precisa estudar música com um compositor profissional, mas gostaria de tomar aulas com alguém que jamais tocou um único instrumento na vida? Aceitaria como professor de artes plásticas alguém que nunca pegou num lápis ou nunca pisou num museu? Por que então aceitamos professores de matemática que nunca produziram uma obra original, não sabem nada da história e da filosofia da matemática, nada sobre os avanços mais recentes — que não sabem nada além do que o sistema de ensino espera que ensinem a seus infelizes alunos? Que tipo de professor é esse? Como alguém pode ensinar algo que ele mesmo não sabe? Eu não sei dançar, e consequentemente nunca me passaria pela cabeça dar aulas de dança (poderia tentar, mas os resultados seriam bizarros). A diferença é que eu sei que não sei dançar. Não há ninguém me dizendo que sou bom de dança só porque conheço um monte de palavras técnicas.

Ora, não estou dizendo que um professor de matemática precisa ser um matemático profissional — longe disso. Mas será que ele não deveria pelo menos entender o que a matemática é, ser bom de matemática, e gostar do que faz?

522345591ÓVNIS e alienígenas. Se reduzimos o ensino à mera transmissão de informações, se não compartilhamos a excitação e a surpresa, se os próprios professores são receptores passivos de informação e não criadores de novas ideias, que esperança há para os alunos? Se para o professor a adição de frações é um conjunto arbitrário de regras, e não o resultado de um processo criativo em que houve escolhas estéticas e desejos, então é claro que o pobre aluno vai se sentir como o recipiente de um conjunto arbitrário de regras.

Ensinar não tem nada a ver com informações. Tem a ver com um relacionamento honesto com os alunos. Não requer nenhum método, nenhuma ferramenta e nenhuma formação — requer apenas a habilidade de ser verdadeiro. E se você não consegue ser verdadeiro, não tem o direito de se impor às crianças inocentes.

Ninguém consegue ensinar alguém a ensinar. Escolas de educação são uma enganação completa. Ah, você pode tomar aulas sobre as fases da criança na primeira infância e tudo o mais, e pode tomar aulas sobre “métodos eficazes” de usar a lousa, ou sobre como preparar um “plano de aula” (que, por sinal, assegura que suas aulas serão planejadas de antemão, e portanto falsas), mas você nunca será um professor de verdade se não estiver disposto a ser uma pessoa de verdade. Ensinar exige abertura e honestidade, a capacidade de ficar excitado com a excitação de seus alunos, e amor ao ato de estudar. Sem tais qualidades, todos os diplomas do mundo não podem ajudá-lo, e com tais qualidades, eles são desnecessários.

É tudo perfeitamente simples: os estudantes não são alienígenas. Eles se interessam por beleza e por padrões, e são curiosos como todo mundo. Apenas converse com eles! E mais importante: ouça o que dizem em resposta!

Simplício: Tudo bem, vejo que existe arte na matemática, e que não estamos fazendo um bom trabalho ao expor as pessoas à arte. Mas isso não é uma coisa esotérica demais, e intelectual demais, para esperá-lo do sistema escolar? Não estamos tentando produzir filósofos; queremos apenas cidadãos com conhecimentos razoáveis de aritmética, para que possam cumprir suas funções na sociedade.

Salviati: Mas isso não é verdade! A matemática escolar inclui muita coisa que não tem nada a ver com a capacidade de cumprir suas funções na sociedade — por exemplo, álgebra e trigonometria. Tais assuntos são irrelevantes na vida cotidiana. Estou apenas sugerindo que, se vamos incluir assuntos assim no currículo, pelo menos que o façamos de modo mais natural. Além disso, como eu já disse antes, só porque um assunto tem alguma utilidade prática não significa que devamos transformá-la no foco das aulas e de nossos estudos. É verdade que você precisa saber ler para preencher os formulários do imposto de renda, mas não é para isso que ensinamos as crianças a ler. Nós as ensinamos a ler para lhes dar acesso a ideias bonitas e importantes. Não apenas seria uma crueldade ensiná-las a ler desse jeito (forçá-las a preencher formulários), seria também inútil, pois não funcionaria! Nós nos dedicamos aos estudos porque eles nos interessam agora, e não porque podem ser úteis mais tarde. Mas estamos exigindo das crianças algo assim quando ensinamos matemática.

Simplício: Mas não precisamos de crianças capazes de fazer contas?

Salviati: Para quê? Você quer adestrá-las para calcular 427 mais 389? Não é o tipo de pergunta que as crianças de oito anos costumam fazer. Falando nisso, muito adulto não entende bem a aritmética feita com notação decimal posicional, e você espera que crianças tenham boa ideia disso? Ou não se importa se elas vão entender ou não? É cedo demais para que recebam esse tipo de treinamento técnico. É claro que é possível implementar tal treinamento, mas acho que, em última instância, ele faz mais mal que bem. É muito melhor esperar que elas, movidas pela própria curiosidade, se interessem pelos números.

Simplício: Então, o que deveríamos fazer com as crianças durante as aulas de matemática?

Salviati: Jogue! Ensine xadrez e damas, gamão e dominó, jogo da velha e 21 — qualquer jogo. Invente jogos. Crie quebra-cabeças. Exponha as crianças a situações nas quais elas precisem de raciocínio dedutivo. Não se preocupe com notação e técnicas operatórias, mas ajude-as a se transformar em pensadores matemáticos ativos e criativos.

Simplício: Acho que desse jeito assumiríamos um risco terrível. E se tiramos a ênfase da aritmética e terminamos com alunos incapazes de somar e de subtrair?

Salviati: Acho que o risco maior é o de criar escolas onde não haja criatividade de jeito nenhum, nas quais a função dos alunos é memorizar datas, fórmulas, e listas de palavras, para regurgitá-las em testes padronizados. “Preparando hoje a força de trabalho de amanhã!”

Simplício: Mas certamente existe um conjunto de fatos matemáticos que uma pessoa educada deve conhecer.

Salviati: Sim, e o mais importante desses fatos é que a matemática é uma forma de arte, praticada por seres humanos para seu próprio prazer! OK, sim, seria muito bom se as pessoas soubessem alguns fatos básicos sobre, por exemplo, os números e as formas. Mas isso nunca virá de decorebas, adestramento, palestras, exercícios. Você só aprende coisas fazendo coisas, e só se lembra do que é importante para você. Temos milhões de adultos caminhando pelo mundo e murmurando “menos b mais ou menos raiz quadrada de b ao quadrado menos quatro vezes a vezes c, tudo isso sobre dois vezes a”, sem ter contudo nenhuma ideia do que isso de fato significa. E a razão é que elas nunca tiveram a oportunidade de descobrir ou de inventar essas coisas por si mesmas. Elas nunca tiveram um problema interessante no qual pensar, com o qual se frustrar, e que fizesse surgir nelas o desejo de uma técnica ou de um algoritmo. Nunca ninguém lhes contou a história de como o homem tem se relacionado com os números — não sabem nada dos tabletes babilônicos antigos, do papiro de Rhind, do Liber Abaci, do Ars Magna. Mais importante, nunca lhes deram a oportunidade de ficar curiosas sobre uma questão: ela foi respondida antes que pudessem elaborar a pergunta.

Simplício: Mas não temos tempo para esperar que todos os alunos reinventem a matemática por conta própria! Levou séculos para que o homem descobrisse o teorema de Pitágoras. Como pode esperar que uma criança comum o invente de novo?

Salviati: Eu não espero. Quero deixar isso claro. Estou reclamando da completa falta de arte e criatividade, de história e filosofia, de contexto e perspectiva no currículo de matemática. Isso não significa que a notação, as técnicas operatórias e o desenvolvimento de um conjunto de conhecimentos básicos não tenham seu lugar. É claro que têm. Deveríamos ter tudo isso. Se eu me oponho a um pêndulo afastado demais numa das pontas, não quer dizer que o quero afastado demais na outra ponta. Mas é fato que as pessoas aprendem melhor quando os resultados surgem do processo de aprendizagem. Para apreciar de verdade a poesia, ninguém deve decorar um monte de poemas, mas sim escrever os próprios poemas.

Simplício: Tudo bem, mas antes que possa escrever seus próprios poemas, precisa estudar o alfabeto. O processo tem de começar em algum lugar. Precisamos andar antes que possamos correr.

Salviati: Não, você precisa ter alguma coisa na direção da qual queira correr. As crianças podem escrever poemas e histórias conforme aprendem a ler e a escrever. O texto de uma criança de seis anos é uma coisa maravilhosa, e os erros de ortografia e de pontuação não vão torná-lo menos maravilhoso. Mesmo criancinhas muito novas podem inventar canções, e elas não têm a menor ideia do que é uma clave ou que tipo de compasso estão usando.

Simplício: Mas a matemática não é diferente? Ela não é uma linguagem toda própria, com todo tipo de símbolo que deve ser estudado antes que possa ser usado?

Salviati: De jeito nenhum. A matemática não é uma linguagem, mas uma aventura. Os músicos falam outra língua simplesmente porque escolheram abreviar suas ideias com pontinhos pretos? Se falam, isso não é obstáculo à criancinha e à sua canção. Sim, certo conjunto de abreviações matemáticas se desenvolveu ao longo dos séculos, mas ele não é essencial. A maior parte da matemática pode ser feita tomando um café com um amigo, com um diagrama desenhado num guardanapo. A matemática é e sempre foi uma coisa de ideias, e uma ideia valiosa transcende os símbolos com os quais você decide representá-la no papel. Gauss uma vez disse isso: “Precisamos é de noções, e não de notações.”

Simplício: Mas um dos propósitos da educação matemática não é ajudar os alunos a pensar de modo mais preciso e lógico, e de desenvolver sua “habilidade de raciocínio quantitativo”? Essas definições e símbolos não aguçam a mente de nossos alunos?

Salviati: Não, não aguçam. Se têm algum efeito, é o oposto, o de entorpecer a mente. Toda acuidade mental surge da mesma situação, que é resolver problemas por si mesmo; ela não surge de ouvir alguém dizer como um problema deve ser resolvido.

Simplício: Acho justo. Mas e quanto aos estudantes que gostariam de seguir carreira na ciência ou na engenharia? Eles não precisam do treinamento que o currículo convencional proporciona? Não é por isso que ensinamos matemática na escola?

Salviati: Quantos alunos nas aulas de literatura querem um dia se transformar em escritores? Não é para isso que ensinamos literatura, e não é por isso que os alunos se matriculam em cursos de literatura. Nós ensinamos para esclarecer todo mundo, e não apenas para adestrar os futuros profissionais. Seja como for, a habilidade mais valiosa para um cientista ou engenheiro é a capacidade de pensar por conta própria e de modo criativo. A última coisa de que alguém precisa é ser adestrado.

stock-illustration-67125187-mosaico-ouro-facetas-de-luxo-em-amor-ironico-icone-do-cranioO currículo de matemática. A coisa verdadeiramente dolorosa sobre a maneira como ensinam matemática na escola nem é o que está faltando (o fato de que ninguém faz matemática de verdade durante as aulas de matemática), mas sim o que ocupou o lugar do que falta: a pilha confusa de desinformações destrutivas conhecida como “o currículo de matemática”. Chegou a hora de examinar mais de perto contra o que os alunos lutam em nome da matemática, e como são prejudicados no processo.

O que mais me impressiona no currículo de matemática é sua rigidez. Isso é especialmente verdadeiro nas séries mais avançadas. De escola para escola, de cidade para cidade, de estado para estado, todos dizem as mesmas coisas e fazem as mesmas coisas exatamente na mesma ordem. A maioria das pessoas, em vez de se perturbar e de se irritar com esse estado orwelliano de coisas, simplesmente aceitou esse currículo padrão como se fosse sinônimo da própria matemática.

Isso está intimamente ligado ao que chamo de “o mito da escada” — a ideia de que alguém pode organizar a matemática como uma sequência de assuntos, cada um deles mais avançado, ou “superior”, que os assuntos anteriores. Como consequência, transformaram a matemática escolar numa corrida, na qual alguns alunos estão na frente e outros ficam para trás. E aonde mesmo essa corrida vai nos levar? O que nos espera na linha de chegada? É uma corrida triste na direção de lugar nenhum. No final, você é enganado, e posto para fora do reino da matemática sem que perceba.

A verdadeira matemática não vem em lata — não existe nenhuma ideia na matemática que possa ser rotulada com “álgebra II”. Você vai aonde os problemas te levam. Uma arte não é uma corrida. O mito da escada dá uma falsa imagem da matéria, e o caminho percorrido pelo próprio professor ao longo do currículo o impede de ver a matemática como um todo orgânico. Como consequência, temos um currículo de matemática sem perspectiva histórica ou coerência temática; é uma coleção fragmentada de assuntos e técnicas os mais variados, unidos apenas pela facilidade com que se pode convertê-los em procedimentos passo a passo.

Em vez de descobertas e explorações, temos regras e regulamentos. Nunca ouvimos um estudante dizer: “Eu queria ver se faria algum sentido elevar um número a um expoente negativo, e descobri que posso chegar a um padrão bem legal se escolhesse, como sendo o significado, o recíproco do número elevado ao expoente positivo.” No lugar disso, temos professores e livros didáticos que apresentam “a regra do expoente negativo” como fato consumado, sem mencionar a estética por trás dessa escolha, e mesmo sem mencionar que foi uma escolha.

No lugar de problemas emblemáticos, que podem nos levar a uma síntese de várias ideias, à discussão de territórios desconhecidos, e ao sentimento de unidade temática e de harmonia, temos no lugar exercícios redundantes e sem graça — desenhados especificamente para a técnica operatória em discussão, e tão desligados um do outro que nem os alunos nem o professor têm a menor ideia de como ou por que tal coisa veio a surgir em primeiro lugar.

No lugar de um ambiente no qual os alunos resolvem problemas e decidem que noções querem compilar, e o que suas palavras devem significar, eles estudam num ambiente no qual tudo lhes é apresentado de uma vez — uma sequência interminável e inexplicável de definições a priori. O currículo está cheio de jargão e nomenclatura, aparentemente sem nenhum outro propósito exceto o de dar aos professores matéria-prima para as provas. Nenhum matemático no mundo inteiro se daria ao trabalho de elaborar definições insensatas: 2½ é uma “fração mista” e 5/2 é uma “fração imprópria”. Meu Deus — elas são iguais. Representam exatamente o mesmo número, têm exatamente as mesmas propriedades. Quem usa tais palavras depois da quarta série?

É claro que é mais fácil verificar se alguém sabe o significado de uma definição inútil do que inspirar alguém a criar algo bonito e atribuir significado ao que criou. Mesmo que concordemos que um vocabulário técnico comum é valioso para os matemáticos, “fração mista” e “fração imprópria” não têm lugar nesse vocabulário. Como é triste ver crianças na quinta série dizendo “quadrilátero” em vez de “formas com quatro lados”; como é triste ver que nunca têm motivo para usar as palavras “conjectura” e “contraexemplo”. Estudantes no ensino médio devem aprender a usar a função secante, sec(x), como abreviatura para o recíproco da função cosseno, 1/cos(x), o que é uma abreviatura com tanto peso intelectual quando escolher entre “e” e “&”. Essa abreviatura [sec(x)] é um resquício das tabelas náuticas do século 15, e ainda está conosco; é um mero acidente histórico, e não tem mais nenhum valor numa época em que a navegação é feita com computadores de bordo. Assim, bagunçamos nossas aulas de matemática explicando uma nomenclatura inútil.

Na prática, o currículo não é nem mesmo uma sequência de assuntos ou ideias, pois é uma sequência de notações. Aparentemente, a matemática consiste de uma lista secreta de símbolos místicos e de regras pelas quais manejá-los. Damos às criancinhas o “+” e o “÷”. Mais tarde, elas ganham o “√”, e daí “x” e “y”, além da alquimia dos parênteses. Finalmente, são doutrinadas a usar “sen”, “log”, “f(x)” e, se forem consideradas dignas, “d” e “∫”. Tudo isso sem que tenham uma única experiência matemática convincente.

Esse programa está tão firmemente fixado no lugar que os professores e os autores de livros didáticos podem prever, com anos de antecedência, em que página do livro estarão. É fácil encontrar alunos de álgebra no ensino médio fazendo exercícios para calcular [f(x + h) − f(x)]/h no caso de várias funções f, de modo que, anos depois, quando estiverem nas aulas de cálculo, tenham a impressão de que “Já vi isso antes.” Naturalmente ninguém explica (e nenhum aluno espera uma explicação) por que tal combinação de operações seria de interesse, embora eu tenha a certeza de que muitos professores tentam explicar o que essa coisa significa, e acho que eles pensam que estão fazendo um favor à classe, quando, na verdade, para seus alunos é só mais um exercício chato de matemática a ser superado.

— O que eles querem que eu faça? Ah, é só plugar as coisas aqui e ali, assim e assado? OK.

Outro exemplo é o adestramento de estudantes para que expressem informações num formato desnecessariamente complicado, simplesmente porque, num futuro distante, ele terá sentido. Será que algum professor de álgebra no ensino médio tem a menor ideia de por que está pedindo que seus alunos reformulem “o número x está entre três e sete” como |x – 5| < 2? Será que esses autores de livros didáticos acreditam realmente que estão ajudando os alunos, ao prepará-los para o possível dia, anos à frente, no qual lutarão com problemas de geometria de dimensões mais altas ou de espaços métricos abstratos? Duvido. Espero que eles estejam simplesmente copiando uns aos outros década após década, talvez alterando o tipo de letra ou as cores dos enfeites, e ficando radiantes de orgulho quando uma rede de escolas escolhe seu livro e torna-se seu cúmplice involuntário.

579755994Problemas em primeiro lugar. A matemática trata de problemas, e os problemas devem se transformar no centro da vida de um estudante de matemática. Por mais doloroso e frustrante que seja o processo de resolver problemas, tanto estudantes quanto seus professores deveriam se engajar no processo o tempo todo — ter ideias, não ter ideias, descobrir padrões, elaborar conjecturas, criar exemplos e contraexemplos, escrever argumentos, criticar o trabalho uns dos outros. Técnicas operatórias e algoritmos específicos devem surgir naturalmente desse processo, como aconteceu antes na história: não isolado de, mas organicamente ligado a, e como resultado de — um problema de fundo.

Professores de português sabem que os alunos aprendem melhor a ortografia e a pronúncia quando leem e escrevem. Professores de história sabem que nomes e datas não interessam quando removidos da história de como os eventos se desenrolaram. Por que a educação matemática permanece presa no século 19? Compare sua experiência ao estudar álgebra com as lembranças de Bertrand Russell [1872-1970]:

— Me fizeram aprender de cor: “O quadrado da soma de dois números é igual à soma de seus quadrados acrescida de duas vezes o seu produto.” Eu não tinha a menor ideia do que isso significava, e quando não conseguia me lembrar das palavras, meu tutor jogava o livro na minha cabeça, o que não estimulou meu intelecto de modo nenhum.

Hoje as coisas estão muito diferentes disso?

Simplício: Não acho que esteja sendo justo. Certamente a didática melhorou desde aqueles dias.

Salviati: Você quer dizer os métodos de adestramento. Ensinar é se meter num relacionamento humano confuso; ninguém precisa de método. Ou melhor, devo dizer que, se você precisa dum método, provavelmente não é um bom professor. Se não domina sua matéria a ponto de conversar sobre ela com suas próprias palavras, de forma natural e espontânea, quão bem a entende? E por falar em ficar preso no século 19, não é chocante como o currículo em si ainda está preso no século 17? Pense nas descobertas surpreendentes e nas revoluções profundas no pensamento matemático que aconteceram nos últimos três séculos! Não mencionam nada disso na escola; é como se nada tivesse acontecido.

Simplício: Mas não está pedindo demais de nossos professores de matemática? Espera que eles deem atenção individual a dezenas de estudantes, que os guiem no seu próprio caminho na direção da descoberta e da iluminação, e que além disso conheçam a história recente da matemática?

Salviati: Você espera que seu professor de arte seja capaz de lhe dar conselhos sábios e individualizados sobre seu quadro? Você espera que ele saiba alguma coisa a respeito dos últimos 300 anos de história da arte? Falando sério, eu não espero nada desse tipo; eu apenas gostaria que fosse assim.

Simplício: Então você culpa os professores de matemática?

Salviati: Não, eu culpo a cultura que os produziu. Os pobres-diabos estão fazendo o melhor que podem, e estão fazendo o que foram adestrados para fazer. Tenho a certeza de que a maioria deles ama seus alunos e odeia o que está sendo obrigada a fazê-los passar. Ela sabe, no fundo, que esse tipo de ensino não tem sentido e degrada o aluno. Ela sente que foi transformada numa peça da grande máquina de esmagar almas, mas não está em posição de compreendê-la ou de lutar. A maioria só sabe que tem de deixar seus alunos “prontos para o próximo ano”.

Simplício: Você realmente acha que a maioria dos estudantes é capaz de trabalhar nesse nível tão alto, a ponto de criar sua própria matemática?

Salviati: Se nós honestamente acreditamos que o raciocínio criativo é muito “alto” para nossos alunos, e que não podem lidar com ele, por que permitimos então que escrevam trabalhos de história ou ensaios sobre Shakespeare? O problema não é que os alunos não podem lidar com raciocínio criativo, mas que a maioria dos professores não pode. Eles nunca provaram nada por conta própria — como podem aconselhar um aluno? De qualquer modo, em cada classe os alunos variariam muito quanto às habilidade e ao grau de compreensão, como aliás ocorre em qualquer matéria, mas pelo menos os alunos detestariam matemática pelo que ela de fato é, e não por essa zombaria perversa dela.

Simplício: Mas certamente queremos que todos os nossos alunos aprendam um conjunto básico de fatos e de competências. É para isso que um currículo serve, e é por isso que é tão uniforme — há certos fatos básicos, frios e eternos, que nossos alunos precisam saber: um mais um é igual a dois, e os ângulos de um triângulo somam 180 graus. Não se trata de opiniões ou de sentimentos artísticos piegas.

Salviati: Ao contrário. Inventamos e aperfeiçoamos as estruturas matemáticas, úteis ou não, no contexto de um problema; e derivamos seu significado desse contexto. Às vezes queremos que “um mais um” seja igual a zero, como no caso da aritmética módulo 2; além disso, sobre uma esfera, os ângulos de um triângulo somam mais de 180 graus. Não existe nenhum “fato” por si só; tudo é relativo, tudo é relacional. É a história que interessa, e não apenas o final.

Simplício: Estou ficando cansado de todo esse nhe-nhe-nhém místico! Vamos lá: aritmética básica. Concorda ou não concorda que os alunos devem estudar isso?

Salviati: Depende do que você quer dizer com “isso”. Quer dizer apreciar os problemas de contagem e de arranjos, as vantagens de agrupar e de dar nome a certos agrupamentos, a distinção entre a representação duma coisa e a coisa em si, a história do desenvolvimento dos sistemas numéricos? Então, sim. Quer dizer a decoreba de fatos aritméticos sem nenhum arcabouço conceitual subjacente? Então, não. Quer dizer explorar o fato, não de todo óbvio, de que cinco grupos de sete equivalem a sete grupos de cinco? Então, sim. Quer dizer criar uma regra pela qual 5 × 7 = 7 × 5? Então, não. Fazer matemática deve sempre significar descobrir padrões e elaborar explicações eloquentes e bonitas.

A geometria do ensino médio: instrumento do demônio

531324562Não há nada tão irritante para o autor de uma acusação mordaz como ter o principal alvo de seu veneno oferecido de volta à guisa de contraexemplo. Jamais existiu um tão pérfido lobo em pele de cordeiro nem um tão desleal amigo quanto a geometria do ensino médio. Precisamente porque a escola a usa para apresentar o aluno à arte da argumentação, a geometria escolar se tornou perigosa.

Fazendo-se passar como a arena na qual o aluno finalmente começará a se envolver com o verdadeiro pensamento matemático, esse vírus ataca a matemática em seu coração; ele destrói a própria essência do argumento racional criativo, e envenena o prazer que esse assunto belo e fascinante poderia provocar no aluno — esse vírus o impede de pensar a matemática de um jeito natural e criativo.

O mecanismo por trás disso tudo é sutil e labiríntico. Primeiro, o vírus paralisa o aluno-vítima com um assalto de definições, proposições, e notações inúteis; logo em seguida, lenta e meticulosamente o desacostuma de qualquer curiosidade natural ou de qualquer intuição a respeito das formas e de seus padrões. Faz isso por meio duma doutrinação sistemática numa linguagem empolada e artificial conhecida como “prova geométrica formal”.

Qual tal deixar agora todas essas metáforas de lado? Entre todas as aulas no curso de matemática do ensino básico, as de geometria são as que melhor corrompem a mente e as emoções do estudante. Nas aulas sobre outros assuntos, talvez o professor esconda o pássaro tão lindo, ou talvez o mantenha numa jaula, mas nas aulas de geometria ele abertamente e cruelmente o tortura. (Como vê, sou incapaz de colocar minhas metáforas de lado.)

O que está acontecendo é que as aulas de geometria sistematicamente enfraquecem a intuição do aluno. Uma prova, isto é, um argumento matemático, é uma obra de ficção, é um poema. Seu objetivo é satisfazer. Uma bela prova deve explicar, e deve explicar com clareza, profundidade, elegância. Um argumento bem organizado e bem escrito deve se parecer com uma golfada de água fria, e deve ser um farol — ele precisa refrescar o espírito e iluminar a mente. E deve ser encantador.

Não há nada de encantador no que, durante as aulas de geometria, explicam como sendo uma prova. Apresentam ao aluno um formato rígido e dogmático, segundo o qual suas “provas” devem ser editadas — um formato tão desnecessário e inapropriado quanto insistir, com as crianças que querem plantar um jardim, que se refiram a suas flores pelo gênero e a espécie.

Provas taciturnas. Que tal examinar alguns casos específicos dessa insanidade? Podemos começar com o exemplo de duas linhas cruzadas:

figura-1

Agora, a primeira coisa que geralmente acontece é que o professor turva as águas ao recorrer a notação excessiva. Parece que é proibido falar simplesmente de duas linhas cruzadas; temos de batizá-las com nomes complicados. Não basta dizer “linha 1” e “linha 2”, ou mesmo “a” e “b”. Devemos (de acordo com a geometria do ensino médio) escolher pontos aleatórios e irrelevantes nas duas linhas e daí nos referir a elas com a “notação especial de linha”.

figura-2

Como pode ver, agora temos de chamá-las de “reta AB” e de “reta CD”. E Deus te perdoe se esquecer a palavra “reta” — pois AB, só AB, se refere ao comprimento entre os pontos A e B (ou pelo menos acho que é assim que esse trem funciona). E não importa o quão tudo isso é inutilmente complicado: é assim que devemos aprender geometria. Agora vem a afirmação que todos esperamos, em geral batizada com algum nome absurdo como:

PROPOSIÇÃO 2.1.1

Sejam AB e CD duas retas que se interceptam em P. Daí, como consequência:

equation-4

figura-3

Em outras palavras, os ângulos de ambos os lados são os mesmos. Ora — dããã! A configuração de duas linhas cruzadas é simétrica, pelo amor de Deus! E como se isso não fosse ruim o bastante, essa afirmação tão óbvia sobre linhas e ângulos deve ser “provada”.

Prova:

Afirmação Motivo
 equation-5 1. Postulado da adição de ângulos.
 equation-6 2. Propriedade da substituição.
 equation-7 3. Propriedade reflexiva das igualdades.
 equation-8 4. Propriedade das subtrações em igualdades.
 equation-9 5. Postulado da medida de ângulos opostos pelo vértice.

No lugar de um argumento inteligente e agradável, escrito por um ser humano de verdade, e conduzido numa das línguas mais bonitas do mundo, conseguimos isso: essa prova taciturna, desalmada e disforme. E que montanha estão obrigando um montículo a parir! Queremos realmente sugerir que uma observação simples como essa requer um preâmbulo tão extenso? Seja honesto: você realmente leu a coisa toda? É claro que não. Quem leria?

O efeito de armarem um circo tão grande por causa de algo tão simples é fazer com que as pessoas duvidem da própria intuição. Ao pôr o óbvio à prova, e ao insistir que seja “rigorosamente provado” (como se a coisa acima valesse como uma prova formal), estamos dizendo o seguinte ao estudante: “Suspeite de seus sentimentos e de suas ideias. Você tem de pensar e de falar do nosso jeito.”

Ora, sem dúvida há ocasião para as provas matemáticas formais. Mas essa ocasião não ocorre quando apresentamos o pensamento matemático ao aluno pela primeira vez. Pelo menos deixe o aluno se familiarizar com alguns objetos matemáticos, e aprenda o que pode esperar deles, antes de começar a formalizar tudo. Provas formais rigorosas só se tornam importantes quando há uma crise — quando alguém descobre que seus objetos matemáticos se comportam de maneira inesperada, ou quando aparece um paradoxo em algum lugar. Mas tal excesso de higiene preventiva é desnecessário aqui — ninguém ficou doente ainda! É claro que uma crise lógica surgirá em algum momento, e então o aluno deve investigá-la para deixar seu argumento mais claro, mas até esse processo pode ser conduzido de modo intuitivo e informal. Na verdade, a essência da matemática é conduzir esse tipo de diálogo com a prova que você mesmo escreveu.

Sendo assim, não só a maioria das crianças se confunde com tanto pedantismo (nada é mais mistificador que uma prova formal do óbvio), como também aquelas poucas cuja intuição permanece intacta devem traduzir suas ideias excelentes e bonitas para esse modelo absurdo e hieroglífico, ou caso contrário o professor não poderá considerá-las “corretas”. E então o professor se lisonjeia com a ideia de que está afiando a mente de seus alunos.

Canto e quina. À guisa de exemplo mais sério, vamos considerar o caso de um triângulo dentro de um semicírculo:

figura-4

A bela verdade sobre esse padrão é que, não importa em que ponto do círculo você posicione a pontinha do triângulo, sempre obtém um ângulo reto. (Não tenho nenhuma objeção a termos técnicos como “reto” se eles são relevantes e tornam mais fácil a discussão do problema. Não me oponho aos termos técnicos em si, mas sim aos termos desnecessários ou inúteis. Em todo caso, ficaria contente de usar “canto” ou “quina” se o estudante preferisse.)

Eis um caso no qual duvidamos de nossa intuição. Não fica claro por que esse fato deveria ser verdade; ele até parece improvável — o ângulo não deveria mudar conforme eu movo o cantinho de lugar? O que temos aqui é um problema de matemática fantástico! Será verdade? Se sim, por que é verdade? Que grande projeto! Que excelente oportunidade de exercer a criatividade e a imaginação! É claro que tal oportunidade não é dada ao aluno, cuja curiosidade e interesse são imediatamente esvaziados por:

TEOREMA 9.5. Seja △ABC um triângulo inscrito num semicírculo de diâmetro AC. Daí ∠ABC é um ângulo reto.

figura-5

Prova:

Afirmação Motivo
1. Desenhe o raio OB. Daí OB = OC = OA. 1. Dado.
 equation-13 2. Teorema do triângulo isósceles.
 equation-14 3. Postulado da soma de ângulos.
 equation-15 4. A soma dos ângulos internos dum triângulo é 180 graus.
 equation-16 5. Substituição (linha 2).
 equation-17 6. Substituição (linha 3).
 equation-18 7. Propriedade da divisão dos termos duma igualdade.
  ∠ABC é um ângulo reto. 8. Definição de ângulo reto.

Será que alguma coisa poderia ser menos atraente e mais deselegante? Alguém conseguiria produzir argumento mais ofuscante e ilegível? Isso não é matemática! Uma prova deveria ser uma epifania dos deuses, e não uma mensagem cifrada do Pentágono! É isso o que obtemos com um senso mal colocado de rigor lógico: feiura. O espírito do argumento ficou enterrado debaixo dum monte de formalismo confuso.

Nenhum matemático trabalha dessa maneira. Nenhum matemático jamais trabalhou dessa maneira. Isso representa uma total e absoluta incompreensão da atividade matemática. A matemática não significa erguer barreiras entre nós mesmos e nossa intuição, e converter coisas simples em complicadas. A matemática significa remover obstáculos à nossa intuição, e manter simples as coisas simples.

Compare essa prova bagunçada e repugnante com o argumento a seguir, concebido por um de meus alunos da sétima série:

figura-6

“Pegue o triângulo e o gire de modo a formar uma caixa de quatro lados dentro do círculo. Visto que girou o triângulo completamente, os lados da caixa têm de ser paralelos, de modo que ela forma um paralelogramo. Mas ela não pode ser uma caixa inclinada, porque ambas as diagonais são diâmetros do círculo, de modo que são iguais; isso significa que a caixa deve formar um retângulo de verdade. É por isso que o canto é sempre um ângulo reto.”

Isso não é delicioso? E a questão não é descobrir se essa ideia é melhor ou pior que a outra; a questão é que essa ideia surgiu. (Para dizer a verdade, a ideia contida na prova formal é bem bonita, embora a vejamos como que por um vidro esfumaçado.) Mais importante ainda, a ideia foi do próprio aluno. A classe teve um problema agradável no qual trabalhar, experimentou várias conjecturas, tentou várias provas, e foi isso o que um dos alunos me trouxe. É claro que levou vários dias, e que foi o fim de uma longa sequência de fracassos.

Para ser honesto, eu parafraseei bastante essa prova. O original ficou mais complicado, e contém muito palavreado desnecessário (além de erros de ortografia e de gramática). Mas acho que passei a sensação que o original me provocou. E os defeitos na versão original vieram todos para o bem: eles me deram algo para fazer na condição de professor. Fui capaz de apontar vários problemas no estilo e na lógica, e o aluno teve então tempo para melhorar o argumento. Por exemplo, não fiquei contente com o pedacinho sobre as duas diagonais serem diâmetros; não achei que esse fato estava completamente óbvio, mas isso significava que o aluno tinha mais em que pensar e tinha mais o que aprender com a situação. E, de fato, ele foi capaz de preencher a lacuna muito bem:

“Visto que girei o triângulo meia volta em torno do círculo, a pontinha teve de parar exatamente do lado oposto àquele em que começou a girar. É por isso que essa diagonal da caixa corresponde a um diâmetro.”

Eis um grande projeto e um belo pedaço de matemática. Não tenho certeza de quem ficou mais orgulhoso, se o aluno ou eu mesmo. Esse é exatamente o tipo de experiência que ambiciono para meus alunos.

stock-illustration-18715954-zombie-nerd-dosParticipante passivo. O problema com o currículo padrão de geometria é que a experiência pessoal de se esforçar como artista foi praticamente eliminada. A arte da prova foi substituída por um rígido modelo passo a passo para as deduções formais, no qual não há lugar para inspiração. O livro didático apresenta um conjunto de definições, teoremas e provas, que o professor copia na lousa, que os alunos copiam no caderno. Eles têm então de imitar esse modelo durante os exercícios. Aqueles que se adaptam rapidamente ao modelo são os “bons” alunos.

Como resultado, o aluno se transforma num participante passivo de um ato criativo. Ele compõe suas afirmações matemáticas para que se encaixem num formato preexistente de prova, e não para que elas reflitam o que realmente queria dizer. Ele foi treinado para macaquear argumentos, e não para planejá-los. Assim, ele não apenas não tem a menor ideia do que seu professor está falando, como também não tem a menor ideia do que ele mesmo está falando.

Mesmo o jeito tradicional de ensinar, no qual o professor apresenta primeiro as definições, é uma mentira. Num esforço para criar uma ilusão de “clareza” antes de embarcar numa típica sucessão de proposições e teoremas, ele apresenta um conjunto de definições para que suas afirmações e suas provas fiquem tão sucintas quanto possível. Num exame superficial, isso parece bem inócuo; afinal, por que não apresentar algumas abreviações, de modo que possa dizer as coisas de forma mais econômica? O problema é que as definições importam. Elas surgem de decisões estéticas sobre quais distinções você, na condição de jovem artista, considera importantes. E elas surgem dos problemas. Fazer uma distinção é chamar a atenção para uma característica ou propriedade estrutural. Historicamente, a definição surge depois que estamos trabalhando num problema, e não como um prelúdio ao problema.

O ponto é que você não começa com definições, mas começa com problemas. Ninguém jamais teve a ideia de que um número pudesse ser “irracional” até que Pitágoras tentou medir a diagonal de um quadrado e descobriu que não podia representá-la com uma fração. As definições têm sentido quando o matemático atinge um ponto no qual a distinção se torna necessária. Ao apresentar definições sem que haja motivo, é bem provável que o professor cause confusão.

Esse é mais um exemplo do modo como a escola blinda os alunos e os exclui do processo matemático. Eles precisam compor suas próprias definições conforme surge a necessidade — precisam dar forma ao debate por conta própria. Eu não quero meus alunos dizendo “a definição, o teorema, a prova”; eu os quero dizendo “minha definição, meu teorema, minha prova”.

Mesmo que você me peça para colocar toda essa lamúria de lado, acho que o verdadeiro problema com esse tipo de apresentação é que ele é chato. Eficiência e economia simplesmente não combinam com boa pedagogia. Acho difícil acreditar que Euclides aprovaria o atual estado de coisas; sei que Arquimedes não aprovaria.

Simplício: Espere um minuto. Não sei sua história, mas eu realmente gostei das minhas aulas de geometria no ensino médio. Eu gostei da estrutura, e gostava de trabalhar com um formato rígido para cada demonstração.

Salviati: É claro que gostou. Você provavelmente teve a chance de trabalhar com alguns problemas legais de vez em quando. Um monte de gente gosta das aulas de geometria (embora mais gente as odeie). Mas isso não é um ponto a favor do regime atual. Ao contrário, serve de testemunho ao poderoso fascínio que a matemática exerce. É difícil arruinar completamente uma coisa tão bonita; mesmo esse fiapo de matemática pode entreter e satisfazer. Muita gente também gosta de pintar conforme os números, pois é uma atividade manual colorida e relaxante. Isso não a torna a coisa real, contudo.

Simplício: Mas eu estou te dizendo — eu gostei!

Salviati: Se tivesse tido uma experiência matemática mais natural, teria gostado ainda mais.

Simplício: Então, deveríamos partir para uma aventura matemática mais livre, e que os alunos aprendam o que quer que aprendam?

Salviati: Precisamente. Os problemas conduzirão a outros problemas, e as técnicas e métodos surgirão sozinhos quando se tornarem necessários, e os novos temas também surgirão naturalmente. E se um problema nunca aparecer em treze anos de escola, quão interessante ou importante ele deve ser?

Simplício: Você ficou completamente louco.

Salviati: Talvez sim. Mas mesmo trabalhando dentro da estrutura convencional, um bom professor pode orientar a discussão e o fluxo de problemas, de modo que seus alunos consigam descobrir e inventar matemática por si mesmos. O problema real é que a burocracia não permite que um professor sozinho faça nada disso. Com um currículo predeterminado a seguir, o professor não consegue liderar. Não deveria haver nenhum padrão e nenhum currículo. Deveria haver apenas indivíduos dando aulas a seus alunos do modo como acham melhor.

Simplício: Mas como então as escolas garantiriam que todos os seus alunos saberiam o mesmo conjunto de conhecimentos básicos? Como nós poderíamos medir com precisão o valor de cada aluno?

Salviati: Elas não garantiriam, nem nós poderíamos. Exatamente como na vida real. Em última análise, temos de encarar o fato de que as pessoas são diferentes, e que isso é bom. E não há pressa. Assim, se uma pessoa com diploma de ensino médio não conhece as fórmulas para as diferenças de arcos trigonométricos (como se alguém soubesse isso agora) — e daí? Pelo menos essa pessoa teria saído da escola com uma boa ideia do que a matemática realmente é, e teria conhecido muita coisa bonita.

[Trecho suprimido, no qual o autor mostra um resumo das matérias do ensino básico norte-americano do modo como ele as vê — como aberrações.]

Nessa forma de arte tão antiga há tanta beleza comovente, tanta profundidade de tirar o fôlego. É tão irônico que as pessoas rejeitem a matemática como sendo a antítese da criatividade. Estão desperdiçando uma forma de arte mais velha que todos os livros, mais profunda que todos os poemas, mais abstrata que todas as abstrações. E é a escola quem faz isso! Que triste ciclo de professores inocentes a infligir dano a estudantes inocentes. Todos nós poderíamos estar nos divertindo muito mais.

Simplício: OK, estou completamente deprimido. E agora?

Salviati: Bem, acho que tive uma ideia muito legal sobre uma pirâmide dentro dum cubo… {FIM}


Copywright © 2009 by Paul Lockhart. O texto original foi adaptado para o português brasileiro com a autorização do autor. Caso queira ler o artigo no original em inglês, clique aqui. Caso queira ler o livro A Mathematician’s Lament completo, inclusive com o capítulo “Exultation”, compre o livro aqui. Se quiser ler algo um pouco mais técnico, para ver como Paul Lockhart se sai, compre o livro Measurement, que é ótimo.

Observação: Paul Lockhart, o autor deste artigo, é matemático e professor de matemática para crianças, mas não astronauta. Por coincidência, há um astronauta que também se chama Paul Lockhart, que é engenheiro e que foi piloto de testes das forças armadas americanas; o astronauta, contudo, não tem nada a ver com este artigo.

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