Como se sente quem já compreende matemática avançada?

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Artigo de: Anônimo


{0}/ Sobre este artigo

Um sujeito postou a pergunta do título no website Quora, onde os internautas conversam sobre assuntos complicados. Ele tinha acabado de concluir o primeiro curso de cálculo diferencial e integral, e já se sentia capaz de compreender respostas mais sofisticadas. Quis saber: “Seria mais ou menos como dominar uma língua estrangeira ou uma linguagem de programação?” Neste artigo, está a resposta de um anônimo, que 4.400 usuários do Quora classificaram, por meio de voto, como a melhor.


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{1}/ Como se sente?

O truque. Você consegue dar resposta rápida a questões que outros classificam como “difícil”, mas não se deixa impressionar pela mágica da coisa, pois conhece o truque. E o truque é que seu cérebro decide velozmente se pode dar resposta ao problema ao combinar o que sabe sobre sua especialidade com alguma das ferramentas matemáticas de uso geral. (Algumas delas são: argumentos de continuidade, argumentos com a correspondência entre objetos geométricos e algébricos, álgebra linear, argumentos de compactação para reduzir problemas de cunho infinito a problemas de cunho finito.) O repertório de ideias e de técnicas fundamentais é, para surpresa de muitos, pequeno; o matemático inglês Timothy Gowers mantém uma lista delas no website Tricki.

Sensação de verdade. Com frequência, tem certeza de que algo é verdade muito antes de prová-lo de modo formal. (Isso acontece especialmente com geometria.) A principal razão é que mantém um catálogo enorme de conexões entre conceitos, e pode rapidamente inferir que, se a afirmação X fosse falsa, outras afirmações e conexões verdadeiras entrariam em atrito; então você tende a acreditar que X é verdadeira, pois quer manter a harmonia no seu catálogo de conceitos. Não é bem que consegue imaginar a situação-problema perfeitamente, mas sim que consegue imaginar muitos outros detalhes que estão logicamente ligados à situação.

Pouco deleite. Você se sente à vontade com a sensação de que não compreende completamente o problema que está estudando. Claro, pois quando compreender o problema completamente, significa que já o resolveu — e daí é hora de fazer outra coisa. Em vista disso, quanto tempo gastará se deleitando com a maestria que obteve nalgum assunto? Muito pouco. Em qualquer área do conhecimento, o cientista deve ter a habilidade de trabalhar e produzir num estado de confusão. Mais sobre isso nos próximos itens.

Confuso e calmo. Sua intuição sobre um problema é produtiva e estruturada, de modo que gasta pouco tempo no estado de “confuso e sem alvo”. Um exemplo: quando trabalha com um problema num espaço de dimensão mais alta (talvez queira saber se determinada rotação de um objeto de dimensão 5 tem um ponto fixo, isto é, um ponto que não se move durante a rotação), não se esforça para visualizar aspectos do problema para os quais não existe um semelhante em duas ou três dimensões. (Estudantes de matemática novatos com frequência violam esse princípio, e gastam energia se esforçando para visualizar coisas para as quais não nasceram com os equipamentos de visualização necessários.) Em vez disso…

Que simples mais complicado!. Quando tenta compreender algo novo, foca em exemplos simples, a respeito dos quais consegue raciocinar naturalmente, e então transforma as intuições obtidas com os exemplos em ideias complexas mais bem formadas. Por exemplo, talvez imagine rotações em espaços de duas e três dimensões, parecidas com a rotação que está estudando, e investiga se elas têm ou não têm a propriedade desejada. Daí separa as características mais importantes dos exemplos simples, e procura convertê-las em símbolos. Com frequência, verá que, durante as manipulações simbólicas, as ideias-chave não dependem da dimensão 2 ou da 3, e com isso está a um passo de descobrir a resposta da pergunta nova e difícil.

Conforme avança na matemática, os exemplos que considera fáceis são na verdade construções complexas, construídas sobre uma base grande de exemplos mais simples ainda; em outras palavras, o “exemplo mais simples” no qual pensa hoje lhe custou dois anos de estudos. Então, em qualquer estágio de sua vida como matemático, não reza para ser iluminado magicamente e ter um estalo com a resposta a uma pergunta incompreensível; mas luta para converter a pergunta em objetos matemáticos com os quais se sente mais em casa.

Rua na pintura. Para mim, o maior engano que o leigo comete ao pensar sobre como o matemático trabalha é achar que o matemático usa algum dom mental misterioso para resolver problemas num estalar de dedos. É verdade que às vezes resolve um problema ao identificar um padrão, ocasião em que vê qual ferramenta matemática funcionará; falo disso no primeiro item deste texto. Isso é legal, mas não é tão diferente assim de outras coincidências entre memória e intuição, como quando recorda um velho truque para pendurar quadros na parede ou nota que, certa vez, viu uma pintura da rua na qual caminha agora.

De qualquer jeito, assim que finalmente um problema se transforma numa pesquisa científica, é quase certo que não conseguirá resolvê-lo ao simplesmente reconhecer um padrão. Na vida profissional, o processo é passo a passo: você pensa uns poucos passos à frente, tenta estabelecer alguns resultados parciais, procura achar analogias com outras ideias que conhece bem. Esse é o mesmo jeito com o qual resolve problemas nos primeiros cursos de matemática na universidade, ou em competições do tipo “olimpíadas de matemática”. Conforme estuda mais, o que acontece é que seu arsenal fica maior, o raciocínio fica mais rápido em razão da prática, e possui mais exemplos para testar. Às vezes, durante esse processo, de repente uma revelação lhe ocorre, mas ela seria impossível sem o duro trabalho dos anos anteriores.

De fato, muitos dos itens aqui resumem sentimentos familiares a quem estuda matemática a sério e já está no meio da graduação; conforme você aprende mais matemática, experimenta tais sentimentos com matérias “maiores”, contudo reconhece neles a mesma essência.

Olhando de longe. Você sobe na abstração, cada vez mais alto. O principal objeto de estudo de ontem vira mero exemplo daquilo que está estudando hoje. Nas aulas de cálculo, por exemplo, pensa a respeito de funções e de curvas. Na geometria algébrica, ou na análise funcional, pensa a respeito de espaços nos quais os pontos são funções ou curvas — isto é, se afasta tanto que cada função vira só um ponto no espaço, circundada por muitas outras funções vizinhas. Ao usar essa técnica de afastamento, consegue dizer coisas complexas numa frase curta, que, caso a traduzisse para refletir a realidade de um observador mais próximo, seria obrigado a escrever páginas e páginas de texto. Ao abstrair e comprimir desse jeito, pode considerar questões extremamente complicadas apenas com a memória e a capacidade de processamento do cérebro.

Livros mais magros. As partes “abstratas” ou “técnicas” de muitos outros assuntos lhe parecerem acessíveis, pois elas se resumem à matemática que já conhece. Passa a confiar na sua própria capacidade de aprender ideias e métodos quantitativos. Um amigo meu, físico teórico, gosta de dizer (brincando, mas meio a sério) que deveria haver livros cujo título é “XXXX para Matemáticos”, em que “XXXX” significa qualquer coisa que os leigos acham difícil: mecânica quântica, teoria da relatividade, apreçamento de seguros, epistemologia formal. Tais livros seriam curtos e incisivos, pois o matemático já está habituado com os conceitos matemáticos fundamentais usados nessas disciplinas. Em geral, um autor consegue explicar as ideias fundamentais de uma ciência mais brevemente, e com maior elegância, caso possa presumir um leitor bem treinado em matemática.

É bem provável que ache duro aprender os tópicos específicos de uma disciplina distinta — por exemplo, intuições sobre a física ou a economia consistem de truques mentais que não aprenderá apenas nas aulas de matemática. Mas os métodos quantitativos e lógicos que aperfeiçoa na condição de matemático lhe permitem tomar vários atalhos que deixam o aprendizado de outras disciplinas mais fácil, desde que seja humilde e modifique os hábitos matemáticos inúteis na disciplina nova.

Enterprise, teletransportar! Você troca fácil o jeito de representar um problema. Por exemplo, muitos problemas e conceitos têm mais de uma representação algébrica (que está perto, em espírito, de um algoritmo) e mais de uma representação geométrica (perto em espírito de uma fotografia). Você naturalmente vai e volta nessas representações, usando a que é mais útil no momento.

De fato, ao empregar algumas das ideias mais poderosas na matemática (dualidade, teoria de Galois, geometria algébrica), é como se recorresse a um dicionário para se mover, de maneira surpreendente, entre partes distintas do universo matemático. Com a teoria de Galois, por exemplo, usa o que sabe sobre os movimentos rígidos de um octógono para resolver equações polinomiais de quarto grau (mas não para resolver as de quinto grau). Uma vez que conheça tais linhas entre as partes da matemática, pode usá-las como máquinas de teletransporte, com as quais se retira do lugar onde o problema lhe parece insolúvel e se posiciona no lugar onde a solução fica mais à vista. Os dois próximos itens são sobre isso.

O xadrez como repetição. Mimado pelo poder que suas melhores ferramentas lhe dão, você evita cálculos complicados ou argumentos longos, do tipo caso a caso, a não ser que sejam inevitáveis. Matemáticos desenvolvem um vínculo forte com demonstrações elegantes e profundas, que entram em atrito com, ou mesmo se opõem a, cálculos mecânicos. Em vez de buscar entender por que um resultado é consequência direta de uma sequência de cálculos, eles são capazes de gastar dias tentando entender por que um resultado é consequência direta de um padrão mais geral e profundo. De fato, você tende a escolher problemas com base em quão provavelmente haverá uma ideia “limpa” neles; não quer uma prova detalhada, na qual lista um monte de possibilidades, pois sabe que uma prova assim, em última análise, revela pouco. (Apesar disso, para começar a ver o que realmente está acontecendo num problema, terá de realizar o cálculo detalhado de um exemplo; além disso, conforme a área da matemática, cálculos mecânicos são parte essencial até das provas bem-feitas.)

No livro Elogio a um Matemático, G. H. Hardy escreveu: “Nos dois teoremas [mencionados antes desta passagem] (e na categoria ‘teoremas’ incluo, naturalmente, as provas), há um grau enorme de inesperado, combinado com inevitabilidade e economia. Os argumentos tomam uma forma tão estranha e surpreendente; as armas parecem tão infantilmente simples quando comparadas com o alcance dos resultados. Não há detalhes desnecessários para complicá-los — uma linha de ataque é suficiente em cada caso; e tudo isso é verdade quando falamos da prova de muitos teoremas mais difíceis, os quais, para apreciá-los, o leitor precisa de alto grau de proficiência técnica. Não queremos ‘variações’ na prova de um teorema matemático: enumerar casos é, de fato, um dos jeitos mais chatos de montar um argumento. Uma prova matemática deveria se parecer com uma constelação muito nítida, e não com um agrupamento espalhado pela Via Láctea.

“[…]

“[A solução de um problema difícil de xadrez] é matemática bem genuína, e tem seus méritos; mas é apenas uma ‘prova por enumeração de casos’ (e, no fundo, de casos que diferem pouco um do outro), que um matemático de verdade tende a desprezar.”

Conhecimento sem computação. Você passa a preferir ideias gerais e poderosas, que lhe parecem bonitas, e que conectam centenas de questões difíceis entre si, em oposição àquelas que servem apenas para a resolução de quebra-cabeças específicos. O matemático não liga para “a resposta” de nenhuma questão em particular; mesmo as conjecturas mais esquadrinhadas, como o último teorema de Fermat, só atormentam o matemático porque sua dificuldade lhe diz que, para demonstrá-la, terá de desenvolver ótimas ferramentas e de entender muitas coisas novas. Não é a resposta por si só que é valiosa, mas sim o que ele consegue ao longo do processo. O matemático busca a proeza de achar um novo dicionário ou uma nova máquina de teletransporte e, desse modo, interligar partes distintas do universo conceitual. Como resultado, muitos matemáticos não gastam energia para extrair as consequências práticas ou computacionais de seus resultados (o que pode ser uma desvantagem da abordagem hiperabstrata); em vez disso, eles simplesmente querem achar as conexões mais gerais e poderosas.

A mansão escura. Perceberá que entender uma abstração ou provar que uma afirmação é verdadeira se transforma numa tarefa bem parecida com a de construir alguma coisa. Pensa: “Primeiro vou estabelecer essa fundação, depois vou construir essa armação com essas peças familiares, mas vou deixar as paredes para outra etapa, e então vou testar as colunas…” Pode achar uma analogia matemática para todos esses passos, e, ao estruturar as coisas em módulos, consegue passar vários dias pensando sobre algo que não compreende, mas sem que se sinta completamente perdido ou frustrado. (Só um pouco perdido e frustrado…)

Andrew Wiles, que provou o último teorema de Fermat, usou uma metáfora interessante: “Talvez eu possa descrever melhor minha experiência nos termos de uma expedição por uma mansão escura e desconhecida. Eu entrava no primeiro cômodo de uma mansão completamente às escuras. Eu tropeçava, trombava com os móveis, mas gradualmente entendia onde cada móvel ficava. Finalmente, depois de uns seis meses, achava o interruptor, ligava a luz e de repente tudo se iluminava. Eu podia ver exatamente onde estava. Então passava para o próximo cômodo, onde ficava mais uns seis meses no escuro. Algumas dessas realizações são bem momentâneas, algumas duram um dia ou dois, mas todas são a culminância dos vários meses de tropeços no escuro, isto é, nenhuma delas existiria sem eles.”

Caixa preta. Ao ouvir um seminário ou ler um artigo científico, não empaca tanto quanto costumava empacar, pois se acostuma a dividir o espaço conceitual em módulos, isto é, a considerar cálculos ou argumentos que não compreende como se fossem caixas pretas: ignora o que está dentro da caixa, mas leva em consideração suas implicações. Às vezes, consegue até fazer afirmações verdadeiras, sem entender direito todos os detalhes de por que são verdadeiras. E com frequência consegue detectar a parte delicada ou interessante de uma ideia com base apenas numa explicação por cima.

Histórias de detetive. Você fica bom na arte de escrever suas próprias definições e seus próprios problemas quando estuda uma nova abstração.

Em geral, todo mundo demora para aprender a escrever perguntas boas e úteis; isso acontece quase sempre quando o matemático está acabando a graduação e começando a carreira científica. Se conhece bem certas partes da matemática, mas nunca ganhou a vida como pesquisador (isto é, como autor profissional de artigos científicos sobre matemática), é provável que seja bom na arte de provar afirmações difíceis, que encontra em listas de exercícios ou em livros didáticos. Contudo, também é provável que se perca quando, ao conhecer uma estrutura matemática nova, tenha de achar e provar fatos interessantes sobre ela — mas sozinho. A capacidade de fazer isso se resume na capacidade de escrever definições e, usando as definições recém-escritas, formular afirmações precisas que outros matemáticos achem intrigantes ou reveladoras.

Esse desafio se parece com desembarcar num mundo novo, e achar sozinho os eventos que formariam uma boa história de detetive. Você tem de descobrir quais deveriam ser os personagens (os conceitos e objetos que você define) e qual deveria ser o mistério. Para fazer isso, usa as analogias que consegue traçar com outras histórias de detetive (outras teorias matemáticas), histórias que conhece e que lhe dão um senso do que é surpreendente ou profundo. Como esse processo funciona? Essa talvez seja a pergunta mais difícil de responder, mas acho que ela descreve a característica mais marcante que os matemáticos têm em comum.

O matemático, um irritadiço. Você se irrita fácil quando, durante uma converta, alguém é impreciso com uma quantidade ou com um argumento lógico. Isso acontece porque já está treinado para pensar rápido em contraexemplos que tornam a imprecisão e a falta de lógica óbvias.

Estágio pós-rigor. Por outro lado, se sente à vontade com imprecisão intencional, ou com resumos resumidos demais, nas áreas que conhece bem, pois consegue preencher os detalhes que faltam. Terence Tao é eloquente sobre isso: “[Depois de aprender a pensar com rigor, vem o] estágio pós-pensamento-rigoroso, em que você fica à vontade com todas as fundações rigorosas de sua área de especialidade, e fica pronto para refinar a intuição que tinha sobre a área, mas desta vez partindo de uma intuição aprimorada com teoria rigorosa. (Por exemplo, nesse estágio consegue dar resposta a perguntas do cálculo vetorial, rapidamente e acuradamente, ao recorrer à analogia com o cálculo escalar, ou consegue dar respostas decentes ao recorrer à definição informal de infinitesimal; em todo caso, consegue transformar suas respostas rápidas em respostas rigorosas se isso for necessário.) Sua ênfase agora é em aplicações, intuição, panorama. Esse estágio começa tarde na graduação e dura o resto da vida.”

Em particular, uma ideia que lhe tomou horas de estudos da primeira vez que a viu (“para qualquer épsilon arbitrariamente pequeno, posso achar um delta tal que essa afirmação é verdadeira”) se transforma num elemento tão básico do seu processo de pensamento que recorre a ele mesmo sem perceber.

Brigas mesquinhas. Antes de encerrar, quero mencionar o fato de que os matemáticos não são imunes às limitações de outros seres humanos. Eles não são super-heróis intelectuais. Por exemplo, eles com frequência resistem a ideias novas e se sentem desconfortáveis com jeitos de pensar que não se parecem com o que eles usam. Eles podem defender sua área de especialização para além do razoável, podem desprezar os outros, ficar na defensiva a respeito de sua área de especialização, repudiar colegas e estudantes, se meter em brigas mesquinhas. Nos itens mais acima, dei destaque a como a matemática nos faz sentir e trabalhar bem, sem dar ênfase às falhas de personalidade do matemático ou aos problemas políticos nas instituições de ensino. Só esses dois assuntos valem cada um deles um texto à parte!

Ciente da ignorância humana. Você fica humilde a respeito de seus conhecimentos, pois está ciente de quão frágil a matemática é, e fica à vontade com o fato de que não consegue dizer nada inteligente a respeito da maioria dos problemas do mundo. Há pouquíssimas questões matemáticas para as quais temos ótima resposta. Há poucas questões matemáticas para as quais um matemático muito talentoso — qualquer um — consegue dar resposta razoável. Depois de dois ou três anos a estudar matemática na graduação, qualquer jovem consegue escrever em poucos minutos centenas de problemas para os quais ninguém tem a menor ideia de como atacar. Esse fato te deixará menos ansioso quando se sentir impotente diante de um problema. Com boa ideia de quais questões podem ser respondidas hoje e quais terão de ser deixadas para o futuro, você se liberta do sentimento de intimidação que a maioria dos problemas difíceis provoca, pois sabe que, apesar de tudo, conhece bem o mais poderoso aparato intelectual para resolver problemas. {FIM}


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Observação. Caso queira ler o artigo original em inglês, clique aqui. O website Quora é grátis, mas vai exigir que preencha um cadastro.

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