Teoria dos números: muita coisa boa num assunto só


{0}/ Introdução

Esta é uma versão revisada e corrigida de uma matéria que publiquei na revista “Cálculo: Matemática para Todos”, edição 51, página 20.


{1}/ Uma lista de problemas

Tente resolvê-los antes de ler esta matéria; se fizer isso, aproveitará a leitura dez vezes mais.

1. Se for possível, ache uma fórmula com a qual calcular a soma dos n primeiros inteiros positivos. Exemplo: a soma dos cinco primeiros inteiros positivos (n = 5) é 15.

Aviso: a partir de agora, nesta matéria, “número inteiro positivo”, “número natural”, e “número” denotam a mesma entidade matemática: os números que usamos para contar — 1, 2, 3, 4, 5, etc. O símbolo do conjunto dos números naturais é N.

2. Com a exceção de 1, existem outros números triangulares que também são quadrados perfeitos? Caso existam, tente explicar, inclusive por meio de fórmulas, o modo como surgem na reta dos números e suas propriedades.

Números triangulares, números quadrados. Um número triangular é um que você pode arranjar num padrão triangular. Exemplos: 3 (duas bolinhas em baixo, uma em cima), 6 (três bolinhas em baixo, duas no meio, uma em cima), 10 (quatro bolinhas em baixo, três na camada de cima, duas na camada de cima, uma bolinha na ponta de cima), etc. Quanto aos números quadrados, são os que você pode organizar num arranjo quadrangular: 4 (um quadrado com duas bolinhas de lado), 9 (um quadrado com três bolinhas de lado), 16 (um quadrado com quatro bolinhas de lado), etc. O número 1 é tanto triangular quanto quadrado; ninguém forma um triângulo ou um quadrado com apenas uma bolinha, mas essa é uma convenção útil, já que o 1 tem as mesmas propriedades dos outros números triangulares e quadrados.

Números triangulares, números quadrados.

Um número triangular e um quadrado.

3. Some os n primeiros ímpares, para vários valores de n, e veja se identifica uma coincidência recorrente — um padrão. Se identificar, tente expressá-lo por meio de uma fórmula. Pense numa figura geométrica, ou num desenho que lembre uma figura geométrica, que sirva para justificar sua fórmula.

4. Os números 3, 5, 7 são três ímpares consecutivos que também são primos. Será que existem infinitos desses primos trigêmeos? Em outras palavras, será que existem infinitos primos p tais que p + 2 e p + 4 também são primos?

5. Os matemáticos acham que existem infinitos números primos na forma N2 + 1, onde N é um inteiro positivo; por enquanto, nenhum deles pôde produzir uma prova.

(a) Você acha que existem infinitos primos na forma N2 −1?

(b) Existem infinitos primos na forma N2 − 2?

(c) E quanto a primos na forma N2 − 3? E N2 − 4?

(d) Para quais valores reais de a você acha que existem infinitos primos na forma N2a?

6. As três linhas a seguir indicam um jeito de olhar a soma dos primeiros n inteiros positivos. Elas estão sem os detalhes. Tente entendê-las tão completamente quanto puder, ache os detalhes que faltam, e veja se alguma ideia luminosa te ocorre.

Por fim, um pouco de nomenclatura. A tabela a seguir mostra o nome de alguns conjuntos de inteiros positivos.

Conjuntos famosos de números naturais

ímpares 1, 3, 5, 7, 9, 11, …
pares 2, 4, 6, 8, 10, 12, …
quadrados 1, 4, 9, 16, 25, 36, …
cubos 1, 8, 27, 64, 125, …
primos 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …
compostos 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, …
triangulares 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, …
perfeitos 6, 28, 496, 8.128, …
Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …


{2}/ “Um belo fenômeno natural”

Em 1941, o filósofo Ludwig Wittgenstein notou uma característica frequente nos textos de Blaise Pascal, o famoso matemático francês do século 17: “É como se Pascal estivesse sempre admirando um belo fenômeno natural”, disse Wittgenstein. “É como se, ao admirar as propriedades dos números, ele admirasse as regularidades nalgum tipo de cristal.”

Quando Wittgenstein disse “números”, quis dizer “números inteiros positivos”, isto é, os números que o homem usa para contar: 1, 2, 3, 4, 5, etc. Cientistas especializados em educação infantil dizem que uma criança pequena distingue sem problemas um cabritinho de dois cabritinhos, e dois cabritinhos de três cabritinhos. Contudo, ela demora um tempão para descobrir que coisa mágica dois cabritinhos têm em comum com dois soldadinhos e duas palmas e dois beijinhos e duas rodinhas e dois bonés e dois livros. Essa coisa mágica é a ideia de 2. Já professores no ensino fundamental 1 dizem que, quando uma criança finalmente entende isso, que pode considerar a ideia de 2 à parte de quaisquer dois objetos particulares, ela fica esfuziante de alegria. (Nem todas entendem, e não é culpa delas, já que o ensino de matemática no Brasil é uma droga.)

O estudante pode ver uma manifestação desse encantamento nas definições leigas de matemática: “A matemática”, dizem os leigos, “é a ciência dos números.” (É raro um ouvinte se rebelar contra essa definição, embora ela deixe de fora uma parte enorme da matemática.) Pode ver outra manifestação no próprio texto em que Wittgenstein comenta Pascal. E pode ver outra ainda nos memes de internet sobre matemática: muitos deles tratam de truques aritméticos com números naturais, do tipo “pense num número”.

Existe uma área da matemática na qual esse encantamento surge toda hora: a teoria dos números. (Daqui em diante, TN.) Um especialista em TN se interessa justamente pelas propriedades dos números inteiros, especialmente os naturais; isto é, se interessa pelas propriedades de subconjuntos dos inteiros, e pelas correlações entre tais subconjuntos. O estudante, ao se dedicar à TN, ganha de três maneiras distintas, no mínimo:

Os ganhos de quem estuda TN

(A) Desenvolve sua técnica, o que é útil em investigações matemáticas de qualquer tipo.

(B) Pode dar vazão a seu lado “artista primitivo”, pois terá muitas ocasiões para desenhar belos padrões com bolinhas ou quadradinhos coloridos.

(C) Aprende a se tornar um bom cientista, assim como aprende a distinguir a ciência boa da ciência fajuta.

* * *

Todos os fatos. O item identificado com (C) merece umas palavras a mais. No livro A Friendly Introduction to Number Theory [Uma Introdução Amigável à Teoria dos Números], o matemático americano Joseph H. Silverman descreve os passos que o estudante costuma dar quando investiga qualquer um dos problemas da TN:

1. Ele acumula dados em conjuntos específicos, em geral dados numéricos, mas às vezes dados de natureza mais abstrata.

2. Examina os dados num conjunto e tenta ver padrões (coincidências recorrentes), assim como tenta ver correlações com os dados de outros conjuntos.

3. Formula conjecturas que possam explicar os padrões e as correlações; com frequência, expressa tais conjecturas na forma de expressões matemáticas (por exemplo, equações), ou de algoritmos (por exemplo, instruções detalhadas).

4. Para testar uma conjectura, ele coleta mais dados. Se os dados novos combinam com a conjectura, ele a mantém; se não combinam, ele a descarta e tenta elaborar uma conjectura nova. Daí repete este passo.

5. Quando está convencido de que sua conjectura é verdadeira, imagina um argumento (ou seja, uma demonstração matemática) para prová-la. Se tiver sucesso, com isso converte a conjectura num teorema.

Silverman diz que os passos 1 a 5 são importantes não apenas na TN, mas na matemática inteira. Quanto aos passos 1 a 4, são exatamente os passos da ciência: físicos, biólogos, economistas, sociólogos, químicos — todo cientista que mereça o título tenta desvendar a natureza seguindo os passos 1 a 4. (Os cientistas fajutos seguem só os passos 1 a 3, e isso quando seguem tais passos: muito fajuto nem se dá ao trabalho de coletar dados.) Quanto ao passo 5, é um privilégio exclusivo do matemático — quando prova um teorema, o matemático deixa como legado uma verdade eterna. O cientista, depois que se convence da validade de uma conjectura, não tem como prová-la de modo que dure para todo o sempre, simplesmente porque ninguém conhece todos os fatos, nem jamais conhecerá.

O melhor jeito de observar a validade dos ganhos (A) a (C) é observar como se manifestam durante a resolução de um problema. Por exemplo, o problema 1.

Resolução do problema 1. Um estudante (vamos chamá-lo de gZ5) começou com uma tabela, na qual incluiu também um desenho com bolinhas pretas. Seu objetivo era ver se identificava algum padrão. Usou o símbolo Sn para indicar a soma dos n primeiros números naturais.

gZ5 fez de tudo para achar um padrão; inclusive fatorou as somas para obter a sequência 1, 3, 2·3, 2·5, 3·5, 3·7, 22·7, etc. Não conseguiu reconhecer nenhum padrão. Teve então a ideia de adicionar mais bolinhas às bolinhas de cada passo, para completar um quadrado, e com isso esboçou a figura 1.

Figura 1

Figura 1

Depois de olhar o desenho um tempo, gZ5 chegou à seguinte hipótese a respeito desse processo no passo n:

O problema é que, nessa fórmula, há três variáveis: n, Sn, Sn−1. Mas logo gZ5 viu que, se quisesse, poderia expressar Sn−1 em termos de Sn: Sn−1 é o mesmo que Snn. Sendo assim:

Com tudo isso, gZ5 cumpriu os passos 1 a 3: coletou dados, examinou-os à procura de um padrão, viu um padrão, elaborou uma conjectura na forma de uma equação. Partiu então para o passo 4: verificar se sua conjectura explica novos dados. Para tanto, calculou S8, S9 e S10 de duas formas: com a fórmula e desenhando bolinhas.

S8 vale 36, o que combina com 28 bolinhas (S7) mais 8 bolinhas. S9 vale 45, o que combina com 36 bolinhas (S8) mais 9 bolinhas. E S10 vale 55, o que combina com 45 bolinhas (S9) mais 10 bolinhas. gZ5 viu que sua conjectura era promissora, pois explicava fatos novos. Pensou então num jeito de provar que ela era verdadeira para qualquer valor natural de n, e teve a ideia de elaborar uma prova por indução finita.

(Vamos voltar ao tema da indução matemática no futuro; dedicaremos uma matéria só para ela. Por enquanto, consulte uma enciclopédia de matemática.)

Começou criando uma proposição P(n), que é verdadeira, por hipótese, para qualquer valor natural de n:

Proposição P(n): Você pode usar a equação a seguir para calcular a soma Sn dos n primeiros inteiros positivos:

Depois, tratou de provar que P(n) vale quando n = 1, caso em que Sn vale, obviamente, 1:

O passo seguinte, numa prova por indução, é provar que, para todo k inteiro positivo, P(k) implica P(k + 1). Como sabe que P(k + 1) é o mesmo que P(k) mais k + 1 (bastou para tanto examinar o triângulo na tabela de pontos), começou com essa afirmação:

gZ5 notou que a última linha é exatamente a que obteria se tivesse aplicado a fórmula logo de cara a Sk+1. Com isso, provou que Sn implica Sn+1. E daí, visto que S1 é verdadeira e implica S2, então S2 é verdadeira; visto que S2 é verdadeira e implica S3, então S3 é verdadeira; e assim por diante para todo n natural. “Esse”, escreveu gZ5, “é o milagre da indução matemática.”

Muito estudante, tendo cumprido a missão, pararia aqui, mas gZ5 sabia que deveria dar dois passos extras. O primeiro deles é bolar outras imagens que também condigam com a fórmula para Sn, e por isso gZ5 chegou às imagens da figura 2.

As figuras 2A e 2B

As figuras 2A e 2B

Com a figura 2A, pôde visualizar precisamente a fórmula para Sn: é equivalente a metade da área de um retângulo de base n e altura n + 1. Com a figura 2B, pôde ver como deduzir a fórmula de Sn acrescentando uma linha de simetria ao triângulo de pontos original: bastou acrescentar uma diagonal com n + 1 pontos e encaixar um triângulo de Sn pontos de ponta-cabeça, e assim obter um quadrado de lados iguais a n + 1 pontos e área igual a (n + 1)2 pontos. gZ5 pôs no papel como essa área se relaciona com Sn:

Tais desenhos servem de ajuda visual para a memória; servem para melhorar a intuição sobre o comportamento de inteiros positivos; e servem como ferramenta para guardar na caixa de ferramentas com as quais resolver problemas no futuro (= forme figuras geométricas com bolinhas e quadradinhos; se possível, forme figuras geométricas com alguma linha de simetria, pois ficam mais bonitas, e é mais fácil memorizar figuras bonitas). Servem também de lembrete: qualquer que fosse o desenho do qual partisse, teria chegado à fórmula para Sn; contudo, por mais que a fórmula pareça óbvia em razão do desenho, gZ5 deve prová-la de modo que um matemático não a possa questionar. Recorrer ao princípio da indução finita é um desses modos.

O outro passo extra: gZ5 se habituou a dar uma espiada no triângulo de Pascal sempre que topa com uma sequência de números, para ver se a sequência está no triângulo. Bem, Sn é um dos elementos da ênupla ordenada infinita (1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, …). Essa sequência existe no triângulo de Pascal? Olhando a figura 3, viu que sim, e em duas diagonais: a diagonal C(k, k − 2) e a diagonal C(k, 2). [Você pode usar esse símbolo, C(a, b), para indicar o número de combinações que pode montar com a elementos, escolhidos b a b. Ele representa, portanto, um número binomial; mas é mais fácil incluí-lo no meio do texto. Note que as duas diagonais se cruzam no elemento C(4, 2).] gZ5 percebeu que, neste caso, k = n + 1. Decidiu explorar essa descoberta.

Figura 3: O triângulo de Pascal. Em cada quadradinho, está o valor do número binomial à sua esquerda. Lembre-se de que, no triângulo de Pascal, um número é a soma dos dois números acima dele (com a exceção do primeiro, no topo do triângulo); se houver apenas um número acima dele, é a soma desse número com zero.

À guisa de primeiro passo, provou que a fórmula para Sn equivale à fórmula para obter os números binomiais dessas duas colunas.

gZ5 achou surpreendente essa ligação entre a soma dos n primeiros números naturais com o número de combinações de (n + 1) elementos, escolhidos (n − 1) a (n − 1), ou com o número de combinações de (n + 1) elementos, escolhidos 2 a 2.



{3}/ “Por que vai um?”

Rubens Vilhena Fonseca dá aulas de cálculo e de teoria dos números na Uepa, a Universidade do Estado do Pará, em Belém. Seus alunos são licenciandos, isto é, vão um dia dar aulas de matemática no ensino fundamental 2 e médio. Sempre que acolhe uma turma de novatos, fica surpreso com o modo como o novato vê a aritmética. “Eu peço para que um dos alunos vá para a lousa e some dois inteiros”, diz Rubens, “e cedo ou tarde esse aluno diz ‘vai um’. Eu pergunto: por que vai um? Muitas vezes o aluno não sabe se explicar, e isso vale até para alunos que já dão aulas em cursinhos pré-vestibulares.” O surpreendente nessa história é que os alunos se matricularam num curso de licenciatura em matemática, isto é, eles gostam de matemática a ponto de querer transformá-la em profissão! O que as pessoas chamam de “aritmética”, diz Rubens, é quase sempre uma coletânea de truques aritméticos para realizar as quatro operações — os truques funcionam, mas a pessoa não conhece os motivos. “As pessoas usam palavras e locuções como ‘divisor’, ‘primo’, ‘resto’, ‘vai um’, ‘acrescenta um zero’, etc., como se usassem palavras e expressões da língua portuguesa: elas sabem mais ou menos o significado, mas não profundamente.”

Depois de pensar no assunto por um tempão, Rubens concebeu uma explicação interessante para o fenômeno. “De modo geral, as afirmações que encontramos em tratados de aritmética, que na faculdade muda de nome para teoria dos números, nos passam a sensação de que ‘isso é óbvio’. A aritmética dá a impressão de que é elementar. Mas assim que um aluno começa a trabalhar num desses problemas elementares, ou óbvios, percebe que ele vai se transformando, ficando grande, e vai exigindo cada vez mais matemática, cada vez mais técnicas, cada vez mais sofisticação.” Rubens faz o que pode para fazer seus alunos perceber a enrascada em que se meteram ao estudar TN, não para assustá-los, mas para que abordem a teoria do jeito certo.

“A matemática nasceu com a aritmética”, diz Rubens, “e até hoje nenhuma outra área se compara à teoria dos números. Ela é uma grande geradora de matemática; ela até hoje alimenta o restante da matemática com técnicas e métodos extraordinários. Com ela, você faz jogos de mágica, criptografa mensagens, se habitua a pensar nos bastidores da matemática de um jeito sistemático. É uma área maravilhosa.”

Num corpo humano, existem mais ou menos 7 · 1027 átomos — ou 7.000 septilhões de átomos, ou ainda 7.000 trilhões de bilhões de átomos. É átomo a perder de vista. Em outras palavras, a realidade é tão complicada, mas tão complicada, que é inapreensível; sobre ela o homem não pode ter nenhuma certeza absoluta.

E, no entanto, o homem faz ciência de boa qualidade. Como isso é possível? Um jeito de pensar nessa pergunta é olhar o esboço na figura 4, mais abaixo, e compará-lo com uma calçada real numa das ruas de Paris. O esboço não tem cores; a calçada real tem. O esboço não tem sons; a calçada real tem. O esboço não tem cheiros; a calçada real tem. O esboço permanece como está, mostrando um momento congelado no tempo; a calçada real nunca é a mesma, até porque átomos e moléculas não param quietos nem por um milissegundo que seja. Um artigo científico também é assim: um esboço estático da realidade.

Se o homem não pode ter certezas absolutas sobre a realidade, pode ter certezas absolutas sobre a matemática, que, afinal de contas, ele inventou para isso mesmo: para que pudesse ter certezas absolutas sobre alguma coisa. Rubens vive repetindo a famosa frase de Gauss: “A matemática é a rainha da ciência, e a teoria dos números é a rainha da matemática.” É isso: usando a matemática, o homem vai aumentando, devagar e sempre, sua lista de bons esboços acerca da realidade. Enquanto isso, estudando a teoria dos números, o matemático desenvolve sua técnica, se diverte desenhando bolinhas e quadradinhos coloridos, deixa aos outros matemáticos soluções novas (e perguntas novas). Além disso tudo, pratica os métodos da ciência do princípio ao fim, e deixa aos cientistas mais ferramentas com as quais esboçar a realidade.

Figura 4: Um esboço de uma rua de Paris

Figura 4: Um esboço de uma rua de Paris



{4}/ A resposta dos problemas 2 a 6

Quando você estiver trabalhando na solução de um problema já resolvido por matemáticos (como a fórmula com a qual calcular a soma dos n primeiros números naturais), não desanime com o pensamento de que é um problema já resolvido. Isso não é nenhum demérito. Rubens Vilhena diz que até matemáticos profissionais estão sempre estudando problemas já resolvidos; eles até têm uma locução para isso: “reabrir um problema”. Rubens explica: “Às vezes, estudando um problema antigo, conseguimos imaginar um novo método pelo qual resolvê-lo, ou um novo algoritmo. Às vezes conseguimos resolvê-lo com uma técnica a qual ninguém usou antes naquele problema. Tudo isso é muito válido.”

Resposta 2 (parcial)

Talvez você tenha notado que um número triangular é justamente a soma dos n primeiros inteiros positivos, com o qual o estudante de codinome gZ5 trabalhou no problema 1. Sendo assim, se existem inteiros triangulares que são também quadrados perfeitos, a raiz quadrada de tais números deve ser um inteiro também. Eis um jeito de dizer isso com notação matemática:

Depois desse passo, pode programar uma calculadora para começar com n = 1, ir de 1 em 1, e a cada passo calcular o valor de Sn e de x. Daí basta anotar numa tabela os números triangulares que também se revelam quadrangulares. (Esboço de um programa assim: a calculadora começa com n = 1, calcula Sn, e tira a raiz quadrada de Sn para calcular x. Se a parte decimal de x é zero, ela põe n, Sn e x na tabela; se é diferente de zero, ignora os resultados. Depois acrescenta 1 a n e repete o algoritmo.)

n Sn = x2 x
1 1 1
8 36 6
49 1.225 35
288 41.616 204
1.681 1.413.721 1.189
9.800 48.024.900 6.930
57.121 1.631.432.881 40.391

Que conjecturas pode levantar de uma tabela assim? Parece que existem infinitos números triangulares que são também quadrados perfeitos. Além disso, parece que tais números vão rareando, isto é, ficam cada vez mais distantes um do outro conforme n fica maior e maior. (Pode expor essa conjectura de um jeito mais preciso: conforme n tende ao infinito, a diferença entre dois números triangulares quadráticos consecutivos também tende ao infinito.) Parece ainda que n, Sn e x se alternam entre ímpar e par, nessa ordem.

Talvez tenha a ideia de fazer um desenho como o da figura 5, que ilustra o caso em que n = 8, Sn = 36 e x = 6. Eis o segredo: deve examinar uma figura dessas não como se fosse a ilustração de um caso específico, mas sim a de um caso genérico. Ela mostra várias coisas. Por exemplo, mostra que, para partir do número triangular Sn e compor o quadrado x2, você deve ter certo número exato de bolinhas nas linhas x + 1, x + 2, x + 3, …, n, que são as linhas marcadas com a letra D. Caso some as bolinhas azuis nas linhas D com as bolinhas azuis nas linhas 1 a x, tem de obter as bolinhas azuis e roxas no quadrado x2. Ao colocar tais ideias em símbolos e desenvolvê-las, deve obter linhas mais ou menos como estas:

Figura 5

Figura 5

Aqui, basta reconhecer o primeiro somatório como uma série aritmética cuja primeira parcela vale x + 1, cuja última vale n e cuja diferença é 1, e daí aplicar a fórmula da série aritmética. Usando a última linha, se fizer n = 8, obterá x2 = 36; se fizer n = 49, obterá x2 = 1.225; e assim vai. Pode portanto levantar a conjectura de que essa última linha caracteriza todos os números triangulares Sn que são também quadrados perfeitos x2. Com ela, já pode levantar alguma informações sobre o problema: n2 + n tem de ser um número par; ao dividir esse número par por 2, tem de obter um quadrado perfeito.

(Terminologia: uma série é o somatório de uma sequência; uma série aritmética é o somatório dos termos de uma sequência aritmética, conhecida na escola como “progressão aritmética”.)

Ou talvez queira organizar a equação como a seguir, e aplicar Bháskara para achar as raízes de n:

Olhando a relação entre n e x desse jeito, pode agora levantar outra conjectura interessante: o número triangular Sn é também um quadrado perfeito x2 se 8x2 + 1 for um quadrado perfeito ímpar. (Daí, ao tirar 1 de √(8x2 + 1), você obtém um inteiro par, e ao dividi-lo por 2, obtém n.)

Por enquanto, é melhor parar por aqui, pois (em tese) ainda não sabe teoria o suficiente para ir mais longe do que isso. [Ao longo das próximas edições, vamos retomar esse tema quando expusermos teoria útil; se quiser se adiantar, leia sobre a equação de Pell.] A principal técnica a guardar dessa resolução parcial é: faça um desenho que represente um caso específico, mas olhe para o desenho como se representasse o caso genérico. Isso te permitirá deduzir várias equações interessantes sobre o problema. Bem, é hora de uma pergunta importante: visto que você ainda não resolveu o problema 2, é um cientista fajuto?

Não. Você cumpriu os passos 1 a 4, não cumpriu o passo 5 (exclusivo da matemática), mas manteve seu leitor informado de tudo. Tem motivos para acreditar que, no futuro, será capaz de provar que suas conjecturas são corretas, mas, até lá, vai chamar suas conjecturas a respeito da relação entre n e x de conjecturas, de modo que não está enganando ninguém. Portanto, está agindo como um bom cientista.


Resposta 3

Como o passo 1 é coletar dados sobre o problema, talvez tenha feito uma tabela como a tabela 1. Ela sugere uma conjectura interessante: que a soma dos n primeiros ímpares vale n2. Para colocar bem essa ideia no papel, você precisa da informação de que, para todo nN, pode calcular o enésimo número ímpar com a fórmula 2n − 1. Daí basta escrever:

Tabela 1

Número n

de parcelas

Somatório Desenho
1 1 = 1  
2 1 + 3 = 4  
3 1 + 3 + 5 = 9  
4 1 + 3 + 5 + 7 = 16  
5 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25  

Antes de continuar, deve fazer um desenho para um caso específico, que sirva de guia para o caso genérico, como o da figura 6 (no pé desta resolução). Ele mostra que, com n = 1, você tem uma bolinha. Com n = 2, tem quatro bolinhas, pois acrescentou uma bolinha debaixo da primeira e duas ao lado. Com n = 3, tem cinco bolinhas, pois acrescentou duas bolinhas embaixo das primeiras e três bolinhas ao lado. Com n = 6, tem 11 bolinhas, pois acrescentou cinco bolinhas embaixo das primeiras (destacadas em verde) e seis bolinhas ao lado (destacadas em roxo). A essa altura, deve achar óbvio que, para passar de n = x para n = x + 1, você vai acrescentar x bolinhas embaixo das primeiras e x + 1 bolinhas ao lado. E com isso está pronto para uma prova por indução.

Primeiro, declare o que pretende provar:

Equation-21

Agora, prova que sua afirmação vale quando n = 1:

E agora, prova que, se a afirmação vale quando n = x, então vale também quando n = x + 1. Um jeito de fazer isso é justamente adicionar 2x + 1 aos dois lados da equação para n = x. (Isso equivale a adicionar x bolinhas embaixo das que já existiam e x + 1 bolinhas ao lado.) Daí:

O lado esquerdo da igualdade é um produto notável, que vale, ainda bem, (x + 1)2. Quanto ao lado direito, faz bem se abordá-lo como uma série aritmética, isto é, a soma de uma progressão aritmética: a primeira parcela vale 1; a última vale 2x + 1; a diferença entre parcelas vale 2; e o número total de parcelas equivale a x + 1. Daí basta aplicar a fórmula pela qual calcula o valor de uma série aritmética:

Visto que (x + 1)2 = (x + 1)2, então concluiu sua prova por indução, e transformou sua conjectura num teorema: a soma dos n primeiros números ímpares é um quadrado perfeito, e vale n2. Desta vez, você cumpriu os passos 1 a 5; como os matemáticos costumam escrever, QED.

Figura 6

Figura 6


Resposta 4

Talvez tenha feito uma lista de primos entre 1 e n, e não tenha visto primos trigêmeos ímpares além de 3, 5, 7. (Rubens os chama de “tripla prima”; veja uma lista dos 100 primeiros primos na figura 7, no pé desta resolução.) E talvez tenha desconfiado de que só há dois conjuntos de primos trigêmeos: um deles é 2, 3, 5; o outro é 3, 5, 7. Como pode trabalhar nessa conjectura? Um esquema, como o da figura 8, é um bom começo.

A partir de 3, pode ver que, a cada 3 unidades, há um múltiplo de 3 — um múltiplo par, depois um múltiplo ímpar, e assim por diante. (Na figura 8, tais inteiros estão marcados com um 3 em cima.) Além disso, a figura sugere uma hipótese melhor: se p é um primo ímpar maior que 3, daí ou p + 2 ou p + 4 é um múltiplo de 3. Isso faz sentido?

Um bom jeito de continuar o argumento é tomar nota de um fato: há cinco inteiros no conjunto de inteiros consecutivos {p, p + 1, p + 2, p + 3, p + 4}, no qual p é um primo ímpar maior que 3. Como existe um múltiplo de 3 de três em três unidades, então no mínimo um desses inteiros é um múltiplo de 3. E com isso você deve chegar a algo como a figura 9.

O que a figura diz? Se p é um primo maior que 3, é um inteiro ímpar, e daí p + 1 é par, p + 2 é ímpar, etc. Visto que p é primo, não é múltiplo de 3. Além disso, p + 3 também não pode ser múltiplo de 3, pois, se assim fosse, p seria também, já que os inteiros múltiplos de 3 estão todos a três unidades de distância um do outro. (Veja o caso de p = 9 e p + 3 = 12.) Agora, se você escolhe p + 1 como múltiplo de 3, daí p + 4 também é. Se você tenta evitar isso, dizendo que p + 1 não é múltiplo de 3, não tem saída senão escolher p + 2 como múltiplo de 3; pois não pode evitar o fato de que no mínimo um deles tem de ser múltiplo de 3. De novo, com esse argumento transformou uma conjectura num teorema: se p é um primo maior que 3, ou p + 2 ou p + 4 é divisível por 3, de modo que a única trinca de primos ímpares consecutivos é 3, 5, 7.

Figura 7

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541}

Figura 8

Figura 9

Figura 9


Resposta 5

O melhor jeito de começar com esse problema é juntar dados numa tabela, como a tabela 2. Rubens Vilhena pede que note uma coisa: quase não há primos nas colunas N2 − 1 e N2 − 4; nas outras colunas, ao contrário, aparecem primos com boa frequência. [Na tabela, os primos estão marcados com (*).] Depois de fazer umas contas, talvez note um padrão na coluna N2 − 1: se N = 2, N2 − 1 é múltiplo de 3; se N = 3, N2 − 1 é múltiplo de 4; se N = 4, N2 − 1 é múltiplo de 5. “Assim”, diz Rubens, “o estudante pode supor que, se N = x, N2 − 1 é múltiplo de x + 1.” Essa ideia faz sentido?

Basta fatorar a expressão N2 − 1 para ver que faz:

Agora fica claro que N2 − 1 tanto é múltiplo de N + 1 quanto múltiplo de N − 1. Além disso, se N − 1 é par, N + 1 também é, e não há jeito de multiplicar dois pares para obter N2 − 1 primo. Se N − 1 é ímpar, N + 1 também é, e só existe um jeito de multiplicar dois inteiros positivos ímpares para obter um primo: multiplicar 1 por 3. Em todos os outros casos, ao multiplicar dois ímpares, mesmo que ambos sejam primos, você obterá um número composto, como quando multiplica 5 por 7. Logo, N2 − 1 só pode ser primo quando N = 2. Isso tudo fica mais claro com a figura 10, no pé desta resposta 5.

Pode usar o mesmo método com a coluna N2 − 4. Ao fatorar essa expressão, descobre que ela equivale a (N − 2)(N + 2). Se N − 2 é par, N + 2 é par também, e o produto notável N2 − 4 será par. Se N − 2 é ímpar, N + 2 é ímpar também, e com N2 − 4 obterá o produto de dois ímpares. Tal produto só será primo no caso em que N = 3, pois daí vai multiplicar 1 por 5; em todos os outros casos nos quais N é ímpar, será necessariamente um número ímpar composto.

(Você consegue provar que o produto de dois ímpares é ímpar?)

Já descobriu a regra geral na qual esses dois casos se encaixam? Se a é um inteiro positivo qualquer, daí, por pura simetria, se Na é par, N + a é par, e N2a2 é par. Se Na é ímpar, N + a é ímpar, e N2a2 é o produto de dois fatores ímpares; só será primo no caso em que Na = 1 (isto é, a = N − 1) e, além disso, N + a é primo. A expressão N2 − 16, por exemplo, não gera nenhum primo; basta ver que a = 4, e que, quando N = 5, daí (5 − 4)·(5 + 4) = 1 · 9 = 9, um múltiplo de 3.

Agora, os dois casos N2 − 2 e N2 − 3, com as quais você obtém vários primos. O que esses dois produtos notáveis têm de especial? Basta fatorá-los para notar um padrão interessante:

Essas duas linhas, mais a discussão anterior, sugerem um teorema e uma conjectura:

Teorema: Se a é um quadrado perfeito (isto é, se a = b2 para algum inteiro positivo b), daí você pode fatorar N2a e obter (Nb)(N + b), e com tal produto obterá um único primo caso haja um valor de N tal que Nb = 1 e, além disso, N + b é primo.

Conjectura: Se a não é um quadrado perfeito [isto é, se a = (√b)2 para algum irracional quadrático √b], daí você pode produzir infinitos primos com a expressão N2a.

“Essa é mais uma conjectura à espera de uma prova”, diz Rubens Vilhena. (Em outras palavras, é um problema em aberto na matemática.) Rubens e um de seus colegas na Uepa, Cleyton Muto, puseram um computador para gerar números inteiros na forma (N − √b)(N + √b), com √b sendo um irracional quadrático, e acharam interessante ver como o computador vai marcando os números primos na tabela.

(Cleyton Muto é especialista em programação de computadores. Rubens diz que, para conduzir investigações sobre teoria dos números, o matemático precisa do apoio de alguém especializado em computação. Aqui, há uma lição para o estudante de teoria dos números: é bom que ele no mínimo aprenda a usar uma calculadora científica programável. Ninguém aguenta fazer tantas contas à mão.)

Agora, o caso N2 + 1. Os matemáticos também acreditam existem infinitos primos equivalentes a essa expressão, embora ainda não tenham produzido uma prova; mas, se você a fatorou, deve ter ficado surpreso com o que descobriu:

Na expressão, i é a unidade imaginária (i2 = −1). Isso sugere uma conexão entre os números primos e o sistema dos números complexos, e com essa descoberta pode entender por que os matemáticos, para investigar os problemas típicos da teoria dos números, no fim das contas lançam mão de todo tipo de ferramenta matemática: teoria das matrizes, álgebra linear, análise, topologia, geometria algébrica.

Para examinar toda essa questão de outro ângulo, pode recorrer à ideia de função e ao gráfico de funções no plano cartesiano. Daí pode olhar N2 como se fosse a função cuja regra de correlação é y = N2; essa função correlaciona N inteiro positivo com N2 inteiro positivo, e seu gráfico é uma parábola. (Veja a figura 11.) Nesse caso, não existe nenhum ponto (N, y) tal que N seja inteiro positivo e y seja primo, simplesmente porque não pode haver um primo que seja o produto de dois inteiros idênticos. Mas, se mover a parábola para cima (para baixo) um pouquinho, conforme o valor que adiciona (subtrai) à ordenada de cada ponto da parábola, daí talvez alguns valores naturais de N levem a valores primos de y. É o caso de subir a parábola por 1 unidade, e ficar com a parábola N2 + 1, que correlaciona N = 4 com y = 17. (Figura 12.) É por isso que, talvez um dia, alguém consiga usar as ferramentas da geometria de coordenadas para provar que existem infinitos primos na forma N2 + 1, bastando para tanto mover a parábola y = N2 assim e assado.

Tabela 2

N N2 + 1 N2 − 1 N2 − 2 N2 − 3 N2 − 4
1 2 (*) 0 −1 −2 −3
2 5 (*) 3 (*) 2 (*) 1 0
3 10 8 7 (*) 6 5 (*)
4 17 (*) 15 14 13 (*) 12
5 26 24 23 (*) 22 21
6 37 (*) 35 34 33 32
7 50 48 47 (*) 46 45
8 65 63 62 61 (*) 60
9 82 80 79 (*) 78 77
10 101 (*) 99 98 97 (*) 96
11 122 120 119 118 117
12 145 143 142 141 140
13 170 168 167 (*) 166 165
Figura 10

Figura 10

Figura 11

Figura 11

Figura 12

Figura 12


Resposta 6

Aqui, depois de estudar o enunciado bastante tempo, cedo ou tarde talvez atine com uma ideia que Rubens Vilhena costuma demonstrar em sala de aula:

Com tais manipulações algébricas, mais a figura 2A, você pode entender uma anedota apócrifa sobre o matemático alemão Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Quando era criança, na escola, um dia o professor pediu à classe que somasse os inteiros de 1 a 100. Diz a lenda que o professor queria sossego, e por isso pediu à classe para se ocupar com um somatório interminável. Em instantes, Gauss concluiu a conta: 5.050.

Note que pode usar o mesmo método para facilmente extrair a fórmula pela qual calcula uma série aritmética. Imagine uma progressão aritmética cujo primeiro termo é a1 e o último, an.

Numa PA, cada termo equivale ao termo anterior mais uma diferença d.

Para adicionar os termos dessa PA, use o mesmo método do menino Gauss: adicione o primeiro termo ao último, o segundo ao penúltimo, o terceiro ao antepenúltimo, e assim por diante até adicionar o antepenúltimo ao terceiro, o penúltimo ao segundo, e o último ao primeiro. Note que cada uma dessas n somas terá o mesmo valor, que é 2a1 + (n − 1)d; e daí, ao adicionar n parcelas com tal valor, obterá duas vezes o valor da soma que procura, já que cada termo da PA original foi contado duas vezes:

Com umas poucas manipulações algébricas, pode reescrever a expressão acima num formato mais fácil de recordar:

Em palavras: para calcular o valor de uma série aritmética, adicione a primeira parcela à última, multiplique esse valor pelo número de parcelas, e divida a coisa toda por 2.

Pensando bem, a teoria dos números é uma coisa incrível. Com ela, você soma todos os 100.000 termos de uma PA com três operações aritméticas simples! {FIM}



P. S. A partir desta matéria, vou tratar de problemas da teoria dos números com maior frequência. Não perca!

Observação (1 Março 2017): Há outra postagem muito legal sobre teoria dos números neste blogue, chamada Lendo Andrews, Capítulo 1. Para vê-la, clique aqui.

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